目录
    第一章  行列式
        学习提要
        考试要求
        读图记考点
        核心知识全解
            一、行列式的概念
                (一)二阶行列式的概念
                (二)三阶行列式的概念
                (三)n阶行列式的相关概念
            二、行列式的性质
            三、行列式的计算
                (一)行列式按行（列）展开定理
                (二)递推法
                (三)归纳法
                (四)公式法
        经典题型与方法技巧
            题型1——利用概念与性质的计算
            题型2——二阶与三阶行列式的计算
            题型3—— n阶行列式的计算
            题型4——含参数行列式的计算
        本章同步练习题
            一、选择题
            二、填空题
            三、解答题
        同步练习题答案解析
            一、选择题
            二、填空题
            三、解答题
    第二章 矩阵
        学习提要
        考试要求
        读图记考点
        核心知识全解
            一、矩阵及其运算
                (一)矩阵的概念
                (二)几种特殊矩阵
                (三)有关矩阵的运算法则
            二、逆矩阵及其运算
                (一)逆矩阵的概念
                (二)有关逆矩阵的运算法则
            三、初等变换及矩阵的秩
                (一)初等变换
                (二)矩阵的秩
            四、分块矩阵及其运算
                (一)分块矩阵的概念
                (二)分块矩阵的运算法则
        经典题型与方法技巧
            一、矩阵及其运算
                题型1——概念及运算法则的相关应用
                题型2——方阵的幂
                题型3——矩阵的可交换性
            二、逆矩阵及其运算
                题型1——逆矩阵的计算及证明
                题型2——伴随矩阵的计算及证明
                题型3——矩阵方程
            三、初等变换及矩阵的秩
                题型1——利用初等变换求矩阵的秩
                题型2——利用初等变换求逆矩阵
                题型3——初等矩阵
                题型4——求矩阵的秩
            四、分块矩阵及其运算
        本章同步练习题
            一、选择题
            二、填空题
            三、解答题
        同步练习题答案解析
            一、选择题
            二、填空题
            三、解答题
    第三章 向量
        学习提要
        考试要求
        读图记考点
        核心知识全解
            一、向量组的相关知识点
                (一)向量
                (二)向量组
            二、向量空间的相关知识点
                (一)相关概念（数一）
                (二)基变换公式和坐标变换公式（数一）
                (三)施密特正交化
                (四)正交矩阵及性质（数一）
        经典题型与方法技巧
            一、向量组的相关问题
                题型1——线性表示与线性相关
                题型2——向量组的等价问题
                题型3——向量组的极大线性无关组和秩的问题
            二、向量空间的相关问题
                题型1——过渡矩阵的相关问题（数一）
                题型2——正交规范化问题
                题型3——正交矩阵的证明问题（数一）
        本章同步练习题
            一、选择题
            二、填空题
            三、解答题
        同步练习题答案解析
            一、选择题
            二、填空题
            三、解答题
    第四章 线性方程组
        学习提要
        考试要求
        读图记考点
        核心知识全解
            一、齐次线性方程组
                (一)向量表示
                (二)矩阵表示
                (三)解的性质
                (四)解的结构
            二、非齐次线性方程组
                (一)向量表示
                (二)矩阵表示
                (三)解的性质
                (四)求解步骤
        经典题型与方法技巧
            一、齐次线性方程组
                题型1——齐次线性方程组解的判定
                题型2——齐次线性方程组解的结构
                题型3——含参数的齐次线性方程组
            二、非齐次线性方程组
                题型1——非齐次线性方程组解的判定
                题型2——非齐次线性方程组解的结构
                题型3——含参数的非齐次线性方程组
                题型4——综合应用问题
        本章同步练习题
            一、选择题
            二、填空题
            三、解答题
        同步练习题答案解析
            一、选择题
            二、填空题
            三、解答题
    第五章 矩阵的特征值和特征向量
        学习提要
        考试要求
        读图记考点
        核心知识全解
            一、特征值和特征向量
                (一)相关概念??
                (二)相关性质??
                (三)求解方法??
            二、相似对角化??
                (一)相似矩阵及相似对角化的概念??
                (二)相似矩阵的性质??
                (三)矩阵可相似对角化的条件??
                (四)矩阵相似对角化的步骤??
            三、实对称矩阵
                (一)实对称矩阵的概念
                (二)实对称矩阵的结论
                (三)实对称矩阵正交对角化的步骤
        经典题型与方法技巧
            一、特征值和特征向量
                题型1——具体型
                题型2——抽象型
                题型3——反求矩阵
            二、相似对角化
                题型1——相似对角化的判定
                题型2——求相似对角化的可逆矩阵
                题型3——相似对角化的相关应用
            三、实对称矩阵
                题型1——实对称矩阵的特征值和特征向量
                题型2——求实对称矩阵
                题型3——实对称矩阵的对角化
        本章同步练习题
            一、选择题
            二、填空题
            三、解答题
        同步练习题答案解析
            一、选择题
            二、填空题
            三、解答题
    第六章 二次型
        学习提要
        考试要求
        读图记考点
        核心知识全解
            一、二次型及其标准形
                (一)二次型的相关概念??
                (二)二次型的标准化??
                (三)二次型标准化定理??
                (四)矩阵的合同??
            二、正定二次型
                (一)正定二次型及正定矩阵的概念??
                (二)正定二次型或正定矩阵的判别定理??
                (三)正定矩阵的性质
        经典题型与方法技巧
            一、二次型及其标准形
                题型1——相关概念的考查
                题型2——化二次型为标准形
                题型3——二次型的含参问题
                题型4——二次型的合同
            二、正定二次型
                题型1——正定二次型及正定矩阵的相关概念
                题型2——二次型正定性的判定
                题型3——正定矩阵的相关问题
        本章同步练习题
            一、选择题
            二、填空题
            三、解答题
        同步练习题答案解析
            一、选择题
            二、填空题
            三、解答题
 

文摘
 

第四章 线性方程组

    【学习提要】
    线性方程组是线性代数的核心部分，在整个学科中的地位十分重要，是考研热点之一．自2006年以来，基本每年都会考查1道解答题，多是含参方程的求解或者是解的判定问题．此外，常见考点还有如下几种：齐次线性方程组有非零解、非齐次线性方程组解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明．虽然这部分解题思路相对比较清晰，但是部分考生因忽视基本运算或者对概念的理解存在偏差，常犯低级错误导致失分率相对较高．总体来看，想要正确理解这部分内容，需要综合运用矩阵、向量、秩等基本概念和重要定理．因此学好本章的内容对考生系统把握整个学科的理论体系有关键作用．
    【考试要求】
    1.会用克拉默法则.
    2.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件（数一、数二）及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．
    3.理解齐次线性方程组的基础解系、通解（数一、数二）及解空间（数一）的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.
    4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．
    5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．
    核心知识全解
    一、齐次线性方程组
    （一）向量表示
    1.具体形式
    x1α1+x2α2+…+xnαn=0,其中
    αj=a1j
    a2j
    
    amj,j=1,2,…,n.
    2.解的判定
    Ax=x1α1+x2α2+…+xnαn=0,
    当α1,α2,…,αn线性相关，Ax=0有非零解；
    当α1,α2,…,αn线性无关，Ax=0仅有零解.
    （二）矩阵表示
    1.具体形式
    设有齐次线性方程组
    a11x1+a12x2+…+a1nxn=0,
    a21x1+a22x2+…+a2nxn=0,
    ……
    am1x1+am2x2+…+amnxn=0.（1）
    记A=a11a12…a1n
    a21a22…a2n
    
    am1am2…amn,x=x1
    x2
    
    xn,
    则（1）式可写成向量方程
    Ax=0.（2）
    若x1=ξ11,x2=ξ21,…,xn=ξn1为（1）的解，则
    x=ξ1=ξ11
    ξ21
    
    ξn1
    称为方程组（1）的解向量，它也就是向量方程（2）的解.
    2.解的判定
    （1）设A是m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是R(A)=n；
    （2）设A是m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)<n；
    特别地，若m<n，则Ax=0必有非零解.
    (3)含有n个未知数、n个方程的齐次线性方程组
    a11x1+a12x2+…+a1nxn=0,
    a21x1+a22x2+…+a2nxn=0,
    ……
    an1x1+an2x2+…+xnnxn=0
    有非零解的充分必要条件是该齐次线性方程组的系数行列式
    D=A=a11a12…a1n
    a21a22…a2n
    
    an1an2…ann=0.
    （三）解的性质
    1.如果ξ1,ξ2是齐次线性方程组Ax=0的两个解向量,则ξ1+ξ2也是Ax=0的解向量.
    2.如果ξ是齐次线性方程组Ax=0的解向量，则kξ也是Ax=0的解向量，其中k是任意常数.
    3.如果ξ1,ξ2,…,ξn都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，则其线性组合k1ξ1+k2ξ2+…+knξn也是它的解向量，其中k1,k2,…,kn是任意常数.
    （四）解的结构
    1.基本概念
    （1）基础解系的相关概念
    如果线性方程组的解存在，则称线性方程组有解，否则称线性方程组无解.线性方程组的解向量的全体称为解集合（无解时为空集）.如果两个线性方程组有相同的解集合，就称它们是同解方程组.能代表线性方程组解集合中任一解向量的表示式称为方程组的通解.
    x1=0,x2=0,…,xn=0一定是齐次线性方程组Ax=0的解，称为零解；如果线性方程组Ax=0存在不全为零的解x1=a1,x2=a2,…,xn=an，则称η=(a1,a2,…,an)T是线性方程组Ax=0的一个非零解.
    如果ξ1,ξ2,…,ξi是齐次线性方程组Ax=0的解向量组的一个极大无关组，则称ξ1,ξ2,…,ξi是方程组Ax=0的一个基础解系，并且Ax=0的通解为x=k1ξ1+k2ξ2+…+kiξi，其中k1,k2,…,ki是任意常数.
    如果齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵Am×n的秩R(A)=r<n,则方程组Ax=0的基础解系存在，且基础解系中所含向量的个数为n-r.
    (2)公共解的相关概念
    如果α既是方程组（Ⅰ）Ax=0的解，又是方程组(Ⅱ)Bx=0的解，则称α是方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）的公共解.
    存在非零公共解的充要条件：若A为m×n阶矩阵,B为s×n阶矩阵,Ax=0与Bx=0有非零公共解A
    Bx=0有非零解RA
    B<n.
    如果方程组（Ⅰ）的每个解都是方程组（Ⅱ）的解，而且方程组（Ⅱ）的每个解也都是方程组（Ⅰ）的解，则称方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解.
    方程组同解的充要条件：
    Ax=0与Bx=0同解R(A)=RA
    B=R(B).
    实际上，由R(A)=RA
    B=R(B),知A,B的行向量组可以相互线性表示，从而A
    Bx=0可以经过初等行变换化为A
    Ox=0,O
    Bx=0.因此，Ax=0,Bx=0,A
    Bx=0都有相同的解.
    同解的必要条件:
    Ax=0与Bx=0同解R(A)=R(B).
    2.基础解系的判定方法
    判定方法一:设齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵Am×n的秩R(A)=r<n.如果：（1）α1,α2,…,αi是Ax=0的解向量；（2）向量组α1,α2,…,αi线性无关；（3）Ax=0的任何一个解都可由α1,α2,…,αi线性表示，则向量组α1,α2,…,αi称为Ax=0的基础解系.且Ax=0的基础解系中向量的个数为s=n-r.
    判定方法二：齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵Am×n的秩R(A)=r<n.如果：(1)α1,α2,…,αi是Ax=0的解向量；（2）向量组α1,α2,…,αi线性无关；（3）向量组α1,α2,…,αi中向量的个数为s=n-r,则向量组α1,α2,…,αi称为Ax=0的基础解系.
    注：齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的.二、非齐次线性方程组
    （一）向量表示
    1.具体形式
    x1α1+x2α2+…+xnαn=b,其中
    αj=a1j
    a2j
    
    amj,j=1,2,…,n,b=b1
    b2
    
    bm.
    2.解的判定
    Ax=x1α1+x2α2+…+xnαn=b,
    若b可由α1,α2,…,αn线性表示，则Ax=b有解．
    （二）矩阵表示
    1.具体形式
    Ax=b，其中
    A=a11a12…a1n
    a21a22…a2n
    
    am1am2…amn,x=x1
    x2
    
    xn,b=b1
    b2
    
    bm.
    2.解的判定
    （1）设A是m×n矩阵，则n元非齐次线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是系数矩阵A的秩不等于增广矩阵A的秩，即R(A)≠R(A).
    （2）设A是m×n矩阵，则n元非齐次线性方程组Ax=b有唯一解的充分必要条件是系数矩阵A的秩和增广矩阵A的秩都等于未知量的个数n，即R(A)=R(A)=n.
    (3)设A是m×n矩阵，则n元非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵A的秩且小于未知量的个数n，即R(A)=R(A)<n.
    3.克拉默法则
    含有n个未知数x1,x2,…,xn的n个线性方程的方程组
    a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,
    a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,
    ……
    an1x1+an2x2+…+annxn=bn.（*）
    如果线性方程组（*）的系数行列式不等于零，即
    D=a11…a1n
    
    an1…ann≠0,
    那么，方程组（*）有唯一解
    x1=D1D,x2=D2D,…,xn=DnD,
    其中Dj(j=1,2,…,n)是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即
    Dj=a11…a1,j-1b1a1,j+1…a1n
    
    an1…an,j-1bnan,j+1…ann.
    （三）解的性质
    1.若ξ1,ξ2是非齐次线性方程组Ax=b的解，则ξ1+ξ2是方程组Ax=2b的解.
    2.若ξ是非齐次线性方程组Ax=b的解，k为任意实数，则kξ是方程组Ax=kb的解.
    3.若ξ1,ξ2是非齐次线性方程组Ax=b的解，则ξ1-ξ2是对应齐次线性方程组Ax=0的解.
    4.若ξ是非齐次线性方程组Ax=b的解，η是方程组Ax=0的解，则ξ+η是Ax=b的解.

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