目录
    第一章 行列式
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            (一)选择题
            (二)填空题
            (三)解答题
        参考答案
    第二章 矩阵
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            (一)选择题
            (二)填空题
            (三)解答题
        参考答案
    第三章  向量
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            (一)选择题
            (二)填空题
            (三)解答题
        参考答案
    第四章 线性方程组
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            (一)选择题
            (二)填空题
            (三)解答题
        参考答案
    第五章 矩阵的特征值和特征向量
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            (一)选择题
            (二)填空题
            (三)解答题
        参考答案
    第六章 二次型
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            (一)选择题
            (二)填空题
            (三)解答题
        参考答案
    附录 近三年考研数学（二）真题及解析
        2015年全国硕士研究生招生考试数学(二)试题
        2015年全国硕士研究生招生考试数学(二)试题参考答案及解析
        2014年全国硕士研究生招生考试数学(二)试题
        2013年全国硕士研究生招生考试数学(二)试题参考答案及解析
        2013年全国硕士研究生招生考试数学(二)试题
        2012年全国硕士研究生招生考试数学(二)试题参考答案及解析
 

文摘
 

第一章 行列式

    一、考试内容及要求
    考试内容
    行列式的概念和基本性质行列式按行(列)展开定理
    考试要求
    1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．
    2．会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式．
    二、专项训练
    1.(★☆☆)已知α1，α2，β1，β2，γ都是3维列向量，且行列式
    α1, β1，γ=α1, β2，γ=α2, β1，γ=α2, β2，γ=3,
    那么-2γ,α1+α2,β1+2 β2=()
    (A)－18．(B)－36．
    (C)64．(D)－96．
    2． (★☆☆)设2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，则D＝()
    (A)0．(B)a2．
    (C)－a2(D)na2．
    3． (★☆☆)设A是3阶矩阵，其中a11≠0，Aij＝ aij，i＝1，2，3，j＝1，2，3，则2AT＝()
    (A)0．(B)2．      
    (C)4．(D)8．
    4. (★★☆)4阶行列式
    a100b1
    0a2b20
    0b3a30
    b400a4
    的值等于()
    (A)a1a2a3a4－b1b2b3b4．          (B)a1a2a3a4＋b1b2b3b4．    
    (C)(a1a2－b1b2)( a3a4－b3b4)．    (D)(a2a3－b2b3)(a1a4－b1b4)．
    5． (★★☆)设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则()
    (A)当m>n，必有行列式AB≠0．
    (B)当m>n，必有行列式AB＝0．
    (C)当n>m，必有行列式AB≠0．
    (D)当n>m，必有行列式AB＝0．
    6． (★★☆)设α1，α2，α3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式α1，α2，α3，β1＝m，α1，α2，β2，α3＝n，则4阶行列式α3，α2，α1，β1+β2等于()
    (A)m＋n．         (B)－( m＋n)．
    (C)n－m．          (D)m－n．
    7． (★★☆)设A=a11a12a13
    a21a22a23
    a31a32a33，B=2a11a13a11+a12
    2a21a23a21+a22
    2a31a33a31+a32，且A=m，则B=()
    (A)m．       (B)－8m．  
    (C)2m．       (D)－2m．
    8． (★☆☆)α1，α2，α3，β1，β2均为4维列向量，A=(α1，α2，α3，β1)，B=(α3，α1，α2，β2)，且A=1，B=2，则A＋B=()
    (A)9．       (B)6．     
     (C)3．     (D)1．
    名师讲解
    9． (★★★)设矩阵A=a1b1c1
    a2b2c2
    a3b3c3是满秩的，则直线L1∶x-a3a1-a2＝y-b3b1-b2=z-c3c1-c2与直线L2∶x-a1a2-a3＝y-b1b2-b3=z-c1c2-c3()
    (A)相交于一点．         (B)重合．
    (C)平行但不重合．          (D)异面．
    1．(★☆☆)设3阶行列式D3的第2行元素分别为1、-2、3，对应的代数余子式分别为－3、2、1，则D3＝．
    2．(★☆☆)如果102
    x31
    4x5的代数余子式A12＝－1，则代数余子式A21＝．
    3．(★★☆)如果A＝1
    2
    3(4，5，6)，则A＝．
    名师讲解
    4．(★★★)行列式xyx+y
    yx+yx
    x+yxy的结果是．
    5．(★★☆)设A=111
    11-1
    1-11，B=113
    -1-14
    051,则ATB＝．
    名师讲解
    6.(★★★)已知3阶行列式a112a123a13
    2a214a226a23
    3a316a329a33=6，则a11a12a13
    a21a22a23
    a31a32a33
    =．
    7．(★☆☆)四阶行列式1200
    0120
    0012
    2001的值是．
    8．(★★☆)设n阶矩阵A＝122…2
    222…2
    223…2
    
    222…n，则A＝．
    9．(★☆☆)行列式D＝9876
    1223242
    1233343
    1234＝．
    名师讲解
    10． (★★★)已知A，B，C都是行列式值为2的3阶矩阵，则D＝O-A
    23B-1C=．
    11． (★★☆)设f(x)＝10x
    12x2
    13x3，则f(x＋1)－f(x)＝．
    12． (★☆☆)方程A＝xa1a2a3
    a1xa2a3
    a1a2xa3
    a1a2a3x＝0的根是．
    名师讲解
    13． (★★★)在xOy平面上，平面曲线方程y＝111
    23x
    49x2，则平面曲线与x轴的交点的坐标是．
    14． (★★☆)设A为3阶矩阵，A=12，则(2A)-1-5A*=．
    1. (★☆☆)设A=2a1
    a22a
    1
    a22an×n,
    证明:行列式A=(n+1)an.
    2. (★★☆)证明：x-10…00
    0x-1…00
    
    000…x-1
    a0a1a2…an-1an=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0.
    名师讲解
    3. (★★★)计算：
    D2n=anbn
    
    a1b1
    c1d1
    
    cndn ，其中未写出的元素都是0.
    4． (★☆☆)设A是n阶可逆矩阵，且A与A-1的元素都是整数，证明：A=±1.
    (一)选择题
    1．【答案】B
    【解析】本题考查行列式的性质.利用性质α1,α2,β1+β2＝α1,α2,β1+α1,α2,β2和kα1,α2,α3=kα1,α2,α3则有
    -2γ,α1+α2,β1+2β2=-2γ,α1，β1+2β2+-2γ,α2，β1+2β2
    =-2γ,α1，β1+-2γ,α1，2β2+-2γ,α2，β1+-2γ,α2，2β2
    =-2α1，β1,γ-4α1，β2,γ-2α2，β1,γ-4α2，β2,γ.
    =(-2-4-2-4)×3=-12×3=-36，
    所以应选B．
    2．【答案】A
    【解析】按这一列展开，D＝a1jA1j＋ a2jA2j＋…＋a2njA2nj＝aA1j＋aA2j＋…＋aA2nj，并注意到这一列元素的代数余子式中有n个为a，n个为－a，从而行列式的值为零．所以应选A．
    3．【答案】D
    【解析】2AT3×3=23AT=8A，且由已知
    A＝a11a12a13
    a21a22a23
    a31a32a33=A11A12A13
    A21A22A23
    A31A32A33=A11A21A31
    A12A22A32
    A13A23A33T=(A*)T，
    故A*＝AT.
    又由AA*＝AAT＝AE，两边取行列式，得
    AAT=A2=AE=A3,
    得
    A2(A-1)=0.
    又a11 ≠0，则A＝a11A11＋a12A12＋a13A13＝ a112＋a122＋a132>0．
    故A＝1，从而2AT＝8,所以应选D．
    4.【答案】D
    【解析】根据行列式的按k行(列)展开法则，将此行列式第2、3行(列)展开，得
    D=a2b2
    b3a3?(-1)2+3+2+3a1b1
    b4a4=(a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4),
    所以应选D．
    5．【答案】B
    【解析】因为AB是m阶方阵，且
    r(AB)≤min{r(A),r(B)}≤min{m,n}，
    所以当m>n时，必有r(AB)<m，从而AB＝0，所以应选B．
    6．【答案】C
    【解析】由行列式的性质：互换两行(列)，行列式变号,得
    α3，α2，α1，(β1+β2)=α3，α2，α1，β1+α3，α2，α1，β2
    =-α1，α2，α3，β1+α1，α2，β2，α3
    =n-m.
    所以应选C．
    7．【答案】D
    【解析】 方法一：
    B=2a11a13a11+a12
    2a21a23a21+a22
    2a31a33a31+a32＝2a11a13a11+a12
    a21a23a21+a22
    a31a33a31+a32＝2a11a13a12
    a21a23a22
    a31a33a32
    ＝-2a11a12a13
    a21a22a23
    a31a32a33＝-2A=-2m.
    方法二：将行列式A的第一列加到第二列上，再将二、三列互换，之后第一列乘以2就可以得到行列式B．由行列式的性质知B=-2A=-2m.
    8．【答案】B
    【解析】方法一：由矩阵加法公式，得A+B=［α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2］，结合行列式的性质有
    A+B=α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2
    =2(α1+α2+α3),α2+α1,α3+α2,β1+β2
    =2α1+α2+α3,α2+α1,α3+α2,β1+β2
    =2α1+α2+α3,-α3,-α1,β1+β2
    =2α2,-α3,-α1,β1+β2
    =2α1,α2,α3,β1+β2
    =2(A+B)=6.
    方法二：
    A+B=α1+α3,α2+α1,α3+α2,β1+β2=(α1,α2,α3,β1+β2)1100
    0110
    1010
    0001
    =α1,α2,α3,β1+β21100
    0110
    1010
    0001=2(A+B)=6.

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