目录
    第一章  函数、极限、连续
        学习提要
        考试要求
        读图记考点
        核心知识全解
            一、函数
               （一）函数的概念及表示法
               （二）函数的性质
               （三）常见函数
           二、极限
               （一）极限的概念
               （二）极限的相关性质
               （三）极限存在准则
               （四）极限的四则运算法则
               （五）两个重要极限
               （六）无穷小、无穷大
           三、连续
               （一）连续的概念
               （二）间断点及其类型
               （三）连续函数的性质
        经典题型与方法技巧
           一、函数
               题型1——利用函数的概念解题
               题型2——利用函数的性质解题
               题型3——常见函数的类型
           二、极限
               题型1——数列极限
               题型2——函数极限
               题型3——用函数解数列极限
               题型4——含参数的极限问题
           三、函数连续性与间断点
               题型1——函数的连续性
               题型2——间断点类型的判别
        本章同步练习题
           一、选择题
           二、填空题
           三、解答题
        同步练习题答案解析
           一、选择题
           二、填空题
           三、解答题
    第二章 一元函数微分学
        学习提要
        考试要求
        读图记考点
        核心知识全解
           一、 导数与微分
               （一）导数与微分的概念
               （二）导数的计算
               （三）求导法则与微分法则
               （四）函数连续、可导与可微的关系
               （五）一阶微分形式的不变性
           二、微分中值定理
               （一）罗尔定理
               （二）拉格朗日中值定理
               （三）柯西中值定理
               （四）泰勒中值定理
           三、导数的应用
               （一）洛必达法则
               （二）判断函数单调性
               （三）函数的极值与最值
               （四）函数的凹凸性、拐点及渐近线
               （五）函数图形的描绘
               （六）方程的根
               （七）几何应用：切线与法线
               （八）导数在经济学中的应用
        经典题型与方法技巧
           一、导数与微分
               题型1——导数概念的直接应用
               题型2——导数的计算
               题型3——n阶导数的计算
               题型4——函数连续、可导与可微的关系
           二、微分中值定理
               题型1——罗尔定理
               题型2——拉格朗日中值定理
               题型3——柯西中值定理
               题型4——泰勒中值定理
           三、导数的应用
               题型1——洛必达法则的应用
               题型2——判断函数的单调性
               题型3——求函数的极值与最值
               题型4——凹凸性、拐点及渐近线
               题型5——方程的根
               题型6——不等式证明
               题型7——几何应用：切线与法线
               题型8——经济应用
        本章同步练习题
           一、选择题
           二、填空题
           三、解答题
        同步练习题答案解析
           一、选择题
           二、填空题
           三、解答题
    第三章 一元函数积分学
        学习提要
        考试要求
        读图记考点
        核心知识全解
           一、不定积分
               （一）原函数和不定积分的概念
               （二）不定积分的性质
               （三）不定积分的计算
           二、定积分
               （一）定积分的概念
               （二）定积分的性质
               （三）积分上限的函数
               （四）定积分的计算
               （五）定积分的应用
           三、反常积分
               （一）无穷积分
               （二）瑕积分
        经典题型与方法技巧
           一、不定积分
               题型1——不定积分的概念
               题型2——不定积分的计算
           二、定积分
               题型1——定积分的概念和性质
               题型2——定积分的计算
               题型3——定积分的应用
           三、反常积分
               题型1——无穷积分
               题型2——瑕积分
        本章同步练习题
           一、选择题
           二、填空题
           三、解答题
        同步练习题答案解析
           一、选择题
           二、填空题
           三、解答题
    第四章 多元函数微积分学
        学习提要
        考试要求
        读图记考点
        核心知识全解
           一、多元函数的相关概念
               （一）多元函数的概念
               （二）二元函数极限
               （三）二元函数连续
           二、偏导数
               （一）偏导数的概念
               （二）求导法则
               （三）高阶偏导数
           三、全微分
               （一）全微分的概念
               （二）全微分的计算
           四、多元函数的极值与最值
               （一）多元函数无条件极值
               （二）多元函数条件极值
               （三）多元函数的最值
           五、二重积分
               （一）二重积分的概念与性质
               （二）二重积分的计算
               （三）无界区域上简单的反常二重积分
        经典题型与方法技巧
           一、多元函数的相关概念
               题型1——二元函数极限的相关问题
               题型2——二元函数连续的相关问题
           二、多元函数的偏导数
               题型1——多元复合函数求一阶、二阶偏导
               题型2——多元隐函数求偏导的相关问题
           三、多元函数全微分
               题型1——多元函数全微分的求解
               题型2——二元函数连续、偏导数与全微分间的关系
           四、多元函数的极值与最值
               题型1——多元函数无条件极值问题
               题型2——多元函数条件极值问题
               题型3——多元函数的最值问题
           五、二重积分
               题型1——二重积分的概念及性质
               题型2——二重积分的计算
               题型3——无界区域上的反常二重积分
        本章同步练习题
           一、选择题
           二、填空题
           三、解答题
        同步练习题答案解析
           一、选择题
           二、填空题
           三、解答题
    第五章 无穷级数
        学习提要
        考试要求
        读图记考点
        核心知识全解
           一、常数项级数
               （一）数项级数
               （二）正项级数
               （三）交错级数
               （四）常数项级数的性质
           二、幂级数
               （一）幂级数的相关概念和性质
               （二）函数展开成幂级数
               （三）幂级数的运算法则
        经典题型与方法技巧
           一、常数项级数
               题型1——正项级数敛散性的判别
               题型2——交错级数敛散性的判别
               题型3——任意项级数敛散性的判别
           二、幂级数
               题型1——求幂级数的收敛半径、收敛区间或收敛域
               题型2——幂级数展开
               题型3——幂级数求和
        本章同步练习题
           一、选择题
           二、填空题
           三、解答题
        同步练习题答案解析
           一、选择题
           二、填空题
           三、解答题
    第六章 常微分方程与方差方程
        学习提要
        考试要求
        读图记考点
        核心知识全解
           一、微分方程的相关定义
               （一）微分方程
               （二）微分方程的阶
               （三）常微分方程
               （四）微分方程的解，通解
               （五）初始条件，特解
               （六）齐次线性方程与非齐次线性方程
           二、一阶微分方程
               （一）变量可分离的微分方程
               （二）齐次微分方程
               （三）一阶线性微分方程
           三、二阶常微分方程
               （一）二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理
               （二）二阶常系数齐次线性微分方程
               （三）二阶常系数非齐次线性微分方程
           四、一阶差分方程
               （一）差分与差分方程
               （二）一阶常系数线性差分方程
           五、微分方程求解简单的经济应用问题
               （一）经济数学中的五大函数
               （二）边际函数与弹性函数
        经典题型与方法技巧
           一、一阶微分方程
               题型1——变量可分离的微分方程
               题型2——齐次方程
               题型3——一阶线性微分方程
           二、二阶常微分方程
               题型1——二阶常系数齐次线性微分方程
               题型2——二阶常系数非齐次线性微分方程
           三、一阶差分方程
           四、微分方程求解简单的经济应用问题
        本章同步练习题
           一、选择题
           二、填空题
           三、解答题
        同步练习题答案解析
           一、选择题
           二、填空题
           三、解答题
 

文摘
 

第一章  函数、极限、连续

    【学习提要】
    函数是微积分的主要研究对象，极限是微积分的理论基础，函数的连续性是函数可导与可积的重要条件，所以函数、极限和连续都是微积分的基础.本章是学好微积分的基石，这部分的知识在考研真题中通常会出现两道小题或一道大题，且由于后面各章节中几乎都会涉及函数、连续的概念，并且在综合题中常用到极限和闭区间上连续函数的性质，因此考生在复习时要灵活掌握，在了解理论的基础上融会贯通.
    【考试要求】
    1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．
    2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．
    3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．
    4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．
    5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．
    6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．
    7．理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．
    8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．
    9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质．
    核心知识全解
    一、函数
    （一）函数的概念及表示法
    1.函数的概念
    设数集DR，则称映射f：D→R为定义在D上的函数，记为y=f(x)，x∈D.其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域.
    2.函数的表示法
    函数的表示法有：解析法，列表法，图象法.
    （二）函数的性质
    1.单调性
    设函数f(x)的定义域为D,(a,b)D,则
    （1）若对任意的x1,x2∈(a,b),当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))则称f(x)在(a,b)上单调递增（或单调递减）;
    （2）若对任意的x1,x2∈(a,b)，当x1<x2时，有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)）,则称f(x)在（a,b）上单调不减（或单调不增）.
    判定方法：①f(x1)与f(x2)作差后与0比较（或f(x1)与f(x2)作商后与1比较）；②使用结论:可导函数f(x)单调不减（不增）的重要条件是f ′(x)≥0(f ′(x)≤0).
    2.有界性
    (1)若存在常数M，使f(x)≤M,x∈D，则称f(x)有上界；
    (2)若存在常数m,使f(x)≥m,x∈D,则称f(x)有下界；
    (3)若f(x)既有上界又有下界，则称f(x)有界.
    结论：①f(x)有界的充要条件为存在常数M，使f(x)≤M;②闭区间上的连续函数一定有界（有界性定理）；③函数有极限（收敛）局部有界；④有界是可积的必要条件（可积一定有界，反之不然）.
    3.奇偶性
    若f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；若f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数.
    注： f(x)-f(-x)为奇函数; f(x)+f(-x)为偶函数.
    结论：①若f(x)为可积的奇函数，则∫a-af(x)dx=0;
    ②若f(x)为可积的偶函数，则∫a-af(x)dx=2∫a0f(x)dx;
    ③若f(x)为一般可积函数，则∫a-af(x)dx=∫a0［f(x)+f(-x)］dx.
    注：当遇到积分的上下限互为相反数时，应优先考虑利用被积函数的奇偶性,以简化计算.
    4.周期性
    若存在T≠0，使f(x+T)=f(x)，则称f(x)是以T为周期的周期函数.
    结论：若T为f(x)的周期，那么kT也是f(x)的周期,k=1,2,3,….
    注：周期函数未必有最小正周期.
    结论：①可导的周期函数的导函数仍然是周期函数，且周期不变；②若f(x)是以T为周期的连续函数，则∫a+Taf(x)dx=∫T0f(x)dx.
    （三）常见函数
    1.基本初等函数
    幂函数：y=xμ(μ∈R是常数);
    指数函数：y=ax(a>0且a≠1);
    对数函数:y=logax(a>0且a≠1，特别当a=e时，记为y=lnx);
    三角函数：如y=sin x,y=cos x,y=tan x等;
    反三角函数：如y=arcsin x,y=arccos x,y=arctan x等.
    2.初等函数
    由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数，例如y=sinx+ex.
    3.反函数
    设函数y=f(x)的定义域是D，值域是W.如果对于W内的每一个y，由y=f（x）可以确定唯一的x∈D,这样在W上定义了一个函数，称为y=f(x)的反函数，记为x=f -1(y)或x=φ(y),y∈W.
    在同一坐标系中,y=f(x)与它的反函数x=f -1(y)的图形形状是一致的，而y=f(x)与它的反函数y=f -1(x)的图形关于直线y=x对称.
    4.隐函数
    如果变量x,y满足方程F(x,y)=0，在给定条件下，当x取某区间的任一值时，相应地总有满足该方程的唯一的y值与之对应，则说明方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数.
    5.复合函数
    设函数y=f(u)的定义域是Df,函数u=φ(x)的定义域是Dφ,值域是Rφ,且RφDf，则称函数y=f［φ(x)］为复合函数，它的定义域是{xx∈Dφ且φ(x)∈Df},u称为中间变量，x称为自变量.
    6.分段函数
    用解析法表示的函数，若在其定义域D的各个不相交的子集上，分别用不同的式子表示，则该函数称为分段函数.
    常见的分段函数:
    （1）绝对值函数y=x=x,x≥0,
    -x,x<0.
    （2）最大值函数max{f1(x),f2(x)}=f1(x),{xf1(x)≥f2(x)},
    f2(x),{xf1(x)<f2(x)}.
    最小值函数min{f1(x),f2(x)}=f2(x),{xf1(x)≥f2(x)},
    f1(x),{xf1(x)<f2(x)}.
    （3）取整函数［x］或int x，表示不超过x的最大整数.
    （4）符号函数y=sgn x=1,x>0,
    0,x=0,
    -1,x<0.
    （5）狄利克雷（Dirichlet）函数y=D(x)=1,x是有理数,
    0，x是无理数.
    二、极限
    （一）极限的概念
    1.数列极限
    设{xn}为一数列，limn→∞xn=A，A为常数对任意的ε>0，存在正整数N>0，当n>N时，有xn-A<ε.则称常数A是数列{xn}的极限.
    2.函数极限
    设函数f(x)的定义域是R，存在常数A，limx→∞f(x)=A对任意的ε>0,存在X>0,当x>X时，有f(x)-A<ε.
    3.函数左、右极限
    若存在常数A,对于任意给定的正数ε>0，总存在δ>0，使得当0<x-x0<δ时，有f(x)-A<ε恒成立，则称常数A为f(x)当x→x+0时的右极限，记为limx→x+0 f(x)=A,或f(x+0)=A,或f(x0+0)=A；
    若存在常数A，对于任意给定的正数ε>0,总存在δ>0,使得当0<x0-x<δ时，有f(x)-A<ε恒成立，则称常数A为f(x)当x→x-0时的左极限，记为limx→x-0 f(x)=A,或f(x-0)=A,或f(x0-0)=A.
    结论：函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即
    f(x-0)=f(x+0),
    因此，即使f(x-0)和f(x+0)都存在，但若不相等，则limx→x0 f(x)也不存在.
    （二）极限的相关性质
    1.数列收敛的性质
    （1）唯一性
    如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一.
    （2）收敛数列的有界性
    如果数列｛xn｝收敛，那么数列{xn}一定有界.
    （3）收敛数列的保号性
    如果limn→∞xn=a,且a>0(或a<0)，那么存在正整数N>0,当n>N时，都有xn>0(或xn<0).
    2.函数收敛的性质
    (1)唯一性
    设limx→x0 f(x)=A,limx→x0 f(x)=B,则A=B.
    (2)局部有界性
    设limx→x0 f(x)=A,则存在δ>0和M>0，使当0<x-x0<δ时，有f(x)≤M.
    (3)局部保号性
    设limx→x0 f(x)=A,且A>0(或<0),则存在δ>0,使当0<x-x0<δ时，有f(x)>0(或<0),反之，若f(x)>0（或<0）,且limx→x0 f(x)=A存在，则A≥0(或≤0).
    推论若limx→x0 f(x)=A(A≠0)，那么存在x0的某一去心邻域Uο(x0),当x∈Uο(x0)时，有
    f(x)>A2.
    （三）极限存在准则
    1.夹逼准则
    对于自变量x的同一变化过程，若limg(x)=limh(x)=A，且g(x)≤f(x)≤h(x)，则limf(x)=A.
    2.单调有界定理
    设数列{un}单调增加（减少）且有上（下）界M(m)，则极限limn→∞un存在，且limn→∞un≤M(≥m).
    （四）极限的四则运算法则
    设有函数f(x),g(x),如果在自变量的同一变化过程中，有limf(x)=a,limg(x)=b,则
    (1) lim［f(x)±g(x)］=limf(x)±limg(x)=a±b;
    (2) lim［f(x)?g(x)］=limf(x)?limg(x)=ab;
    (3) limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=ab(b≠0);
    (4) lim［cf(x)］=climf(x)=ca,其中c为常数;
    （5）若limf(x)存在，则lim［f(x)］n=［limf(x)］n，n是任意正整数.
    （五）两个重要极限
    1.limx→0sinxx=1；
    2.limx→0(1+x)1x=e或limx→∞1+1xx=e.
    （六）无穷小、无穷大
    1.定义
    无穷小量:若limx→x0 f(x)=0(或limx→∞f(x)=0),则称函数f(x)是当x→x0(或x→∞)时的无穷小量，简称无穷小.
    无穷大量:若limx→x0 f(x)=∞(或limx→∞ f(x)=∞),则称函数f(x)是当x→x0(或x→∞)时的无穷大量，简称无穷大.
    2.无穷小量的性质
    (1)在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则1f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则1f(x)为无穷大.
    (2)有限个无穷小的和也是无穷小.
    (3)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
    (4)常数与无穷小的乘积是无穷小.
    (5)有限个无穷小的乘积也是无穷小.
    3.无穷小量α(x),β(x)的阶
    (1)若limα(x)β(x)=0,α(x)是比β(x)高阶的无穷小，记为α(x)=ο［β(x)］;
    (2)若limα(x)β(x)=∞,α(x)是比β(x)低阶的无穷小;
    (3)若limα(x)β(x)=C≠0,α(x)与β(x)是同阶的无穷小;
    (4)若limα(x)β(x)=1,α(x)与β(x)是等价的无穷小，记为α(x)~β(x);
    (5)若limα(x)βk(x)=C≠0(k>0),α(x)是β(x)的k阶无穷小.
    4.几个常用的等价无穷小量
    x→0时，
    x~sinx~arcsinx~tanx~arctanx~ln(1+x)~ex-1~ax-1lna~(1+x)a-1a，
    1-cosx~12x2,x-sinx~16x3.

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