目录
    2002年～2015年考研数学（二）考情分析
        一、考试形式和试卷结构分析（1）
        二、历年真题题型、题量分析（1）
        三、历年真题考点分析（2）
    考研数学备考手册
        一、考研数学备考三阶段（7）
            （一）第一阶段——基础复习（7）
            （二）第二阶段——强化提高（8）
            （三）第三阶段——考前冲刺（10）
        二、考研数学临场应战技巧（11）
            （一）合理控制时间分配，有取有舍（11）
            （二）妥善安排解题顺序，先易后难（11）
            （三）看清题干，注意条件（11）
    历年真题
        2015年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题
        2014年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题
        2013年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题
        2012年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题
        2011年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题
        2010年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题
        2009年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题
        2008年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题
        2007年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题
        2006年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题
        2005年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题
        2004年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题
        2003年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题
        2002年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题
 

文摘
 

考研数学备考手册

    一、考研数学备考三阶段
    数学是被大多数考生视作第一难关的“拦路虎”。许多考生对于怎样合理安排复习计划、如何有效把握复习重点、如何选择复习教材和复习方法等方面有诸多疑惑。同时，考研数学的复习是个慢功夫，如此“长战线”的复习也容易导致考生忘记已经复习过的知识。鉴于考研数学复习过程中的上述难题，建议考生分阶段进行复习。考生只有不断积累，掌握知识点和阶梯性复习技巧，才能达到事半功倍的效果。考研数学复习可分为以下三个阶段：
    （一）第一阶段——基础复习
    通过分析近几年真题，发现考研数学对基础数学知识的考查逐年增加，因此基础知识的决定性地位越来越强。命题人除了通过单选题和填空题来考查考生对基础概念和理论的把握，还通过解答题中的计算题和证明题来考查考生对基础知识的运用能力。所以考生只要掌握了基础知识，也就抓住了复习的重点。但基础知识杂乱无章，考生复习时容易毫无头绪，因此建议考生在复习每一章时，将该部分的知识点做系统的梳理，并归类到整体的知识框架中，顺利地完成第一阶段的基础复习。
    这一阶段的复习目标是考生通过对教材上基本知识的全面复习，能够理解大纲中要求的“三基本”——基本概念、基本理论、基本方法。
    1.基本概念
    对于基本概念的理解，考生要注意关键词，学会用概念提炼题干的有关信息，例如关于导数的概念：设函数y=f(x)在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应的函数取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果Δx→0与Δx的比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为f ′(x0)，即
    f ′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx。
    在这个定义里，函数的增量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，极限的前提是Δx→0。在遇到有关该定义的题目里经常会有相应的变形，例如极限符号limΔx→0可以变形为limx→x0，或者limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx可以变形为lim-Δx→0f(x0-Δx)-f(x0)-Δx,因此要注意定义里的细节信息，如哪些形式保持一致、哪些符号是固定不变的等。
    对于公式的理解，考生要注意公式中的运算关系以及公式中每个字母或式子代表的具体内容。例如所有的求导公式和求积分公式，公式里的变量可以代表一个字母，也可以代表一个整式、分式或无理式。要记忆公式的形式，将所求等式变形，变为公式要求的形式，例如重要极限limx→0sinxx=1，公式里的字母x所在的位置形式要保持一致，例如limx-y2→0sin(x-y2)(x-y2)=1。因此考生看教材要心思缜密，注意定义中隐含的重要细节信息。
    2.基本理论
    考生要掌握数学的基本理论，一定要分清定理、推理、结论等使用的前提条件，牢记相应的结论。而且对于前后的“充分”和“必要”关系要理清，同时要掌握基本定理的证明方法，例如拉格朗日中值定理：设函数f(x)满足在闭区间［a,b］上连续；在开区间（a,b）内可导。则存在ξ∈(a,b)，使得 f(b)-f(a)b-a=f ′(ξ)。
    该定理的“在闭区间［a,b］上连续；在开区间（a,b）内可导”是前提条件，结论是“存在ξ∈(a,b)，使得 f(b)-f(a)b-a=f ′(ξ)。”只有满足条件，后面的等式才成立。但是满足后面等式的ξ∈(a,b)不一定必须满足“在闭区间［a,b］上连续；在开区间（a,b）内可导”。因此如果结论中有等式 f(b)-f(a)b-a=f ′(ξ)出现，并不一定是对拉格朗日中值定理的考查。
    同时，考生在看教材时要注意该定理的证明方法，一般微分中值定理都用构造函数法，这一方法也是考研数学高等数学里常用的证明方法。再例如，可导与连续的关系，可导函数一定连续，连续函数不一定可导，即可导是连续的充分条件，连续是可导的必要条件。
    因此，考生在复习定理推论时把证明过程作为例题加以练习，可以掌握和定理有关的一类题目的解析思路。
    3.基本方法
    考生要想提高考研数学的成绩，必须在夯实基础知识的基础上，学会总结归纳解题思路、方法和经验。因为考研数学的全部任务就是解题，而基本概念、公式、结论的应用也是在一定的方法上体现出来的。
    尤其在线性代数部分，考生需要总结的方法很多，因为该学科前后内容的连贯性特别强，看完教材，一定要进行某类题目解题方法的总结。例如证明矩阵A是可逆矩阵的方法，经过总结之后有下面几种：
    （1）矩阵A对应的行列式值不等于0，即矩阵A是非奇异矩阵；
    （2）矩阵A是满秩矩阵；
    （3）齐次线性方程组Ax=0有非零解；
    （4）对任意的非零向量b，非齐次线性方程组Ax=b的解总是唯一的；
    （5）矩阵A和单位矩阵E是等价的；
    （6）矩阵A的行向量组或列向量组是线性无关的；
    （7）矩阵A可以表示成若干个初等矩阵的乘积形式；
    （8）矩阵A对应的特征值不全为0；
    （9）A的行向量组或列向量组是Rn的一组基；
    （10）矩阵A是Rn的两组不同的基的过渡矩阵。
    而上述的方法涉及到的知识分布在不同的章节，分属线性代数不同的知识版块。然而一旦确定用一种方法，那么用到其他方法的可能性较小。
    有些解题方法是可以一起使用的，例如高等数学（微积分）中，求极限的代表性方法有洛必达法则、利用等价无穷小代换、两个重要极限公式的变形、泰勒展开式代换等方法。在考研数学中，洛必达法则和等价无穷小代换法交替使用求极限出现的题目比较多。
    （二）第二阶段——强化提高
    考生通过第一阶段对数学基础知识的复习，相信已经对基础知识有了一定程度的掌握。接下来就要通过做题——相关的例题和课后习题——对知识点加以强化提高。
    首先，由于例题一般都对应于某个公式或者定理，是对某一知识点具有代表性的应用，因此考生在复习时要练习相关例题，从而扎实地掌握对应的知识点，有助于强化记忆。其次，考生要做教材课后的习题，对于会做的题一定要做快做好。同时，考生如果复习时间比较充足，建议把课后题都做一遍；如果复习时间不够，则可以参照大纲选做具有代表性的题目。
    考生在做题时还要注意分析、研究题目和解题思路。因为数学试题千变万化，其知识结构却基本相同，题型也相对固定，往往存在明显的解题套路，所以，对解题思路的熟练掌握定能帮助考生提高答题正确率，加快解题速度。
    总之，第二阶段不仅能帮助考生强化提高，也会帮助考生查漏补缺第一阶段没有牢固掌握的知识，全面提升对数学的信心。这一阶段的目标是考生能够把教材上的基础知识转化为具体的做题能力，具体方法为以下四点：
    1.及时归纳，全面总结
    有些考生做了很多题目之后还是摸不到方向，症结在于没有在做题中认真总结方法、规律和技巧。因此，考生在解题后要及时总结归纳，熟练掌握各类重要题型解题的要领和关键尤为重要。
    例如求极限，教材的讲解是从新知识的接受能力出发，第一部分讲概念，然后是一些基本方法，如直接带入法，上下同除高次方的方法等，第二部分学习导数的时候又讲了洛必达法则，第三部分学习定积分的时候又提及可以用定积分求数列极限。考生在使用考研数学辅导资料时，要学会把求极限的题目放在一起练习，再将所有可用的方法、技巧全面归纳在一起，并归纳不同方法对应的题目特征和使用前提条件。这样，考生在看到这种题型就能在脑中浮现出所有可用方法，然后根据题目特点快速找到一种或几种适合的方法。
    2.熟练解题，熟记结论
    从试卷题目来说，一套试卷由23道题构成，考生需要用180分钟来完成这些题目，这就要求考生加快做题速度，有效利用考场时间。从试题运算量来说，许多试题都需要大量的运算，这就要求考生理顺解题思路、迅速找寻题目信息，从而熟练地解题。
    再者，考生应该把常见的一些公式的运算结果熟记于心，这样在考试的时候，就可以减少中间的运算过程。熟练掌握常见的变量替换、公式、等价无穷小的等量代换、常用的结论以及常见的辅助函数的用法，这些都可以减少考生的思索和分析的过程，把考试时间节省出来。
    3.发现问题，及时解决
    复习的过程中，如果考生发现对某一知识块不熟悉、一知半解，那么就要立即返回教材，把缺失的内容补上，通过习题加强对相关知识的掌握程度。但是有些考生明明知道自己对某一部分（如二重积分直角坐标、极坐标相互转换）没有掌握，但是由于害怕复习过程不能按时结束，就是不肯放慢复习速度，总是以按时完成复习计划为主要目标而忽视复习效果。因此，考生要在做习题的过程中多总结，看看自己在哪些知识点、哪些章节、哪种类型的题目中容易出问题，从而分析原因并制订对策。
    4.钻研真题，挖掘有用信息
    第二阶段的后期一定要钻研历年真题，尤其是最近几年的真题，真题是挖掘历年考研信息的最好载体。数学命题是连贯的，思绪是连续的，往年的例题或许还会考，做完真题后要想三点：考什么、怎么考、什么地方容易出错。
    考研真题是历年考试大纲所规定的考点和要求的具体体现，对于数学考试而言，真题本身更是一份极具代表性和说服力的量表。它不仅反映了考研数学考试大纲对不同知识点的要求，同时也包含了一些与命题原则有关的信息，例如题型的分类、题量的多少、每道题所考的科目。同时，纵向比较历年真题还可明确其蕴含的指导思想和考试趋势。真题可以展示数学考试的全貌，呈现大纲规定的重要考查点。
    因此，研读考试大纲之后再钻研真题有利于考生了解有关考试信息，归纳出重难点和常考题型，把握命题思路和规律，明确复习方向，还有助于考生发现问题，查漏补缺。
    在第二阶段的复习中，注意力应从第一阶段的“每个知识点有哪些概念、都是如何定义的、相应地有哪些性质与定理等”，转移到“每个考点有哪些题型、都有什么样的出题形式、如何将基本知识融合在题目中、一个题目都考了哪些点、可以用哪些方法、技巧在哪里、自己的弱点在哪里、如何克服”等等。
    另外，考研数学涉及到高等数学、线性代数、概率论与数理统计三科，在第二阶段，考生在集中时间复习其中一科的时候，可能对另外两科的知识会有所遗忘。出现这种情况该怎么办？此时考生就要通过钻研真题和模拟题，钻透这个“屏障”，把高数、线代和概率都串起来，无论提到哪部分知识都非常熟悉，这样才真正达到了考研数学的要求。
    （三）第三阶段——考前冲刺
    在最后的冲刺阶段，数学复习应该做到如下目标：增加信心，掌握好考试时间的分配，增强临场应变的能力。
    很多考生在考试结果出来后懊恼平时缺少练习、抱怨题目太多、做不完或者做错，主要是因为考生在平时训练缺少系统模拟实战考场的意识。尽管考生分散练习了许多习题，但是如果没有系统规划、模拟训练，对于考场实战是极为不利的。所以，考生要在冲刺阶段多做考研数学模拟题，加强训练，具体应该注意以下三方面：
    1.逼真考场
    做模拟题或者真题时，考生可以按照模拟考场的方式来训练，模拟考场越逼真，在正式考试时就越不容易紧张，答题也就越顺利。
    首先，考研数学的考试时间一般是安排在上午8∶30~11∶30，所以，考生可以从现在开始把模拟训练定在上午这段时间里，让自己的思维和身体熟悉这种状态，将最后考研的应考状态调整到最佳。
    其次，在规定时间内进行整套试题的训练，可以使考生感受到真正的考试气氛，培养考试的感觉。往年有很多考生反映对这种严格的训练一开始不适应，第一次做完整套题时，脑细胞消耗大，头脑发晕。但锻炼多了，也就成为一种习惯了。
    最后，考生在逐渐把握住做题节奏后，在考试时自行调整做题节奏，就不会有漏做题目的情况出现了。要知道真刀真枪的训练与平时的单项题型训练有很大出入，因此只有在本阶段培养良好的习惯和时间意识，考试的时候才能做到心中有数，不至于遇到问题惊慌失措。
    2.答题步骤
    在考试时，一些考题可能看上去很简单，但一定要警惕，不能大意。由于考研数学的阅卷是按步骤给分的，所以考生一定要写清楚中间步骤，哪怕是很基础的公式、定理，也要花上十几秒写清楚步骤，否则白白丢分，就有些冤枉了。
    每年都有考生因为少了答题步骤而丢分，这样的失分很可惜。考生需要注意，每一道题的关键步骤都是有分数的，这点和只看重答案的选择题填空题恰恰相反。所以考生在模拟训练时，一定要尽量严格地把答题步骤写全，而不能只是心里明白就好。
    一般而言，在难度上，选择填空题会简单些，那么考生还是应该先做简单的，这样既能拿到有效分数，也可以在做题难度上有个过渡，使考试状态渐入佳境。做解答题时，考生应当先做常见的题目，从熟题到生题，这样既可以增加信心，也能够为后面的陌生题目省下时间，集中精力充分思考解答。
    3.牢记公式
    在做模拟题或者真题试卷之前，数学公式必须牢牢记在心中，这样在解题的过程中才会得心应手。将题目中常用的数学公式记在一个小本子上，方便考生随时拿出来反复加强记忆，让自己对其达到熟识到常识的程度。
    做数学模拟题或者真题不是纯粹地为了这一套题目做对，不是为了做题而做题。从微观上看，要注意考查知识点的内容、以及其之间的联系和运用技巧的总结。从宏观上，做完模拟题之后一定要自我反省、归纳总结，看看每一套题目之间的考点分布有什么关系，难度大小有什么变化，把握住题目的结构。
    除了分阶段复习的方法，根据历届考生的经验教训，总结出数学复习中“七忌”，希望考生在复习过程中时刻提醒自己，引以为戒。
    一忌：死记硬背解题方法技巧，不注重理解；
    二忌：复习中只看例题和解析，不动笔练习；
    三忌：做题中只追求高难题目，不看重基础；
    四忌：只是一味地去做题目，不归纳总结；
    五忌：做题时时翻书，不牢记公式；
    六忌：只是闷头做题，不与人交流；
    七忌：突击复习，三分钟热度，不持之以恒。
    考生掌握了以上原则并进行认真复习，一定能取得不错的复习效果。
    二、考研数学临场应战技巧
    （一）合理控制时间分配，有取有舍
    在考研数学考试的180分钟内，时间分配原则上遵循以下几点：
    1.14个客观题大致花60分钟，每题平均花4~5分钟左右。
    2.9个主观题大致花90分钟，每题平均花9~10分钟左右。
    3.剩余30分钟用来检查答案及个人信息。
    4.对于每道客观题，如果3分钟内仍然无法下手，应及时跳过。
    5.同样，对于每道主观题，如果5~6分钟内仍然无法下手，立刻换下一道题目。
    题目总是有难有易，运算也会有繁有简，不可能是同一个水平的。所以，以上的“时间控制分配”是指大体上的平均时间。
    因为在一道题上费太多时间而耽误了做后边的题是最不值得的。相对于考题变化较多的高等数学，概率论与数理统计和线性代数的题目相对要简单一些，题型也很可能是曾经做过的，更容易理清思路，迅速找到突破口。因此不要为了一道题目而影响了后面的题目。
    （二）妥善安排解题顺序，先易后难
    在答题时，应该先选择自己擅长的科目或者题型。合理解题顺序是“先易后难”，“先熟后生”。一般来说，按照题型的话，客观题相对容易，选择题应当比填空题更容易一些，故依此安排答题顺序即可。
    然而按照科目分，因为对于“难”和“易”、“生”和“熟”，不同的人可能会有完全不同的感觉。如果高等数学、线性代数、概率论与数理统计这三门功课都学得不错，那么，就应该按照“先易后难”的次序做。根据历年真题的统计观察，在整份试卷中，相对来说概率论与数理统计最容易，线性代数其次，它们都要比高等数学拿分相对较容易。
    （三）看清题干,注意条件
    一般情况下，数学试题的题干中，没有多余的条件，所有条件在解题过程中都是有用的，而且每个条件对解题都有一定的启示。有些条件构成了一个重要前提，如果没有这个前提，问题可能会变得没有意义，或者变得不确定。
    所以要重视题干中的条件，题干中不存在的条件，不允许随便添加条件（如果有实际应用题，则不受此限），由于这样的改变，会大大降低试题的难度，会得不到阅卷老师承认。例如：题干中本来没有“微分”的条件，而在解题时却用到了“微分”的条件；题干中本来只有“可积”的条件，而在解题时却用到了“可导”的条件。这样你的解题过程当然是无效的。

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