目录
    2002年～2015年考研数学（一）考情分析
        一、考试形式和试卷结构分析（1）
        二、历年真题题型、题量分析（1）
        三、历年真题考点分析（2）
    考研数学备考手册
        一、考研数学备考三阶段（8）
            （一）第一阶段——基础复习（8）
            （二）第二阶段——强化提高（9）
            （三）第三阶段——考前冲刺（11）
        二、考研数学临场应战技巧（12）
            （一）合理控制时间分配，有取有舍（12）
            （二）妥善安排解题顺序，先易后难（12）
            （三）看清题干，注意条件（12）
    历年真题
        2015年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
        2014年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
        2013年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
        2012年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
        2011年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
        2010年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
        2009年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
        2008年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
        2007年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
        2006年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
        2005年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
        2004年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
        2003年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
        2002年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
 

文摘
 

2015年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题

    一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
    名师讲解
    （1）设函数f(x)在(－∞,+∞)内连续，其中二阶导数f″(x)的图形如图所示，则曲线y=f(x)的拐点的个数为（）
    (A)0(B)1
    （C）2（D）3
    （2）设y=12e2x+(x－13)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y″+ay′+by=cex的名师讲解
    一个特解，则（）
    (A)a=－3,b=2,c=－1(B)a=3,b=2,c=－1
    （C）a=－3,b=2,c=1（D）a=3,b=2,c=1
    名师讲解
    （3）若级数∑∞n=1an条件收敛，则x=3与x=3依次为幂级数∑∞n=1nan(x－1)n的（）
    (A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点
    （C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点
    名师讲解
    （4）设D是第一象限由曲线2xy=1，4xy=1与直线y=x，y=3x围成的平面区域，函数f（x，y）在D上连续，则Df(x,y)dxdy=（）
    (A)∫π3π4dθ∫1sin2θ12sin2θf(rcosθ,rsinθ)rdr(B)∫π3π4dθ∫1sin2θ12sin2θf(rcosθ,rsinθ)rdr
    （C）∫π3π4dθ∫1sin2θ12sin2θf(rcosθ,rsinθ)dr（D）∫π3π4dθ∫1sin2θ12sin2θf(rcosθ,rsinθ)dr
    名师讲解
    （5）设矩阵A=111
    12a
    14a2，b=1
    d
    d2，若集合Ω={1,2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为（）
    (A)aΩ,dΩ(B)aΩ,d∈Ω
    （C）a∈Ω,dΩ（D）a∈Ω,d∈Ω
    名师讲解
    （6）设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换为x=Py下的标准形为2y21+y22－y23，其中P=(e1,e2,e3)，若Q=(e1,－e3,e2)，则f(x1,x2,x3)在正交变换x=Qy下的标准形为（）
    (A)2y21－y22+y23(B)2y21+y22－y23
    （C）2y21－y22－y23（D）2y21+y22+y23
    名师讲解
    （7）若A，B为任意两个随机事件，则（）
    (A)P(AB)≤P(A)P(B)(B)P(AB)≥P(A)P(B)
    （C）P(AB)≤P(A)+P(B)2（D）P(AB)≥P(A)+P(B)2
    名师讲解
    （8）设随机变量X,Y不相关，且EX=2,EY=1,DX=3，则E［X(X+Y－2)］=（）
    (A)－3(B)3
    （C）-5（D）5
    二、填空题:9~14小题，每小题4分，共24分.
    名师讲解
    （9）limx→0ln cosxx2=.
    名师讲解
    （10）∫π2－π2(sinx1+cosx+x)dx=.
    名师讲解
    （11）若函数z=z(x,y)由方程ez+xyz+x+cosx=2确定，则dz(0,1)=.
    名师讲解
    （12）设Ω是由平面x+y+z=1与三个坐标平面所围成的空间区域，则Ω(x+2y+3z)dxdydz=.
    名师讲解
    （13）n阶行列式20…02
    －12…02
    
    00…22
    00…－12=.
    名师讲解
    （14）设二维随机变量(x,y)服从正态分布N(1,0;1,1;0)，则P{XY－Y<0}=.
    三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
    步骤.
    名师讲解
    （15）（本题满分10分）
    设函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx3，若f(x)与g(x)在x→0是等价无穷小，求a,b,k的值
    名师讲解
    （16）（本题满分10分）
    设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0∈I，由曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)=2，求f(x)的表达式.
    名师讲解
    （17）（本题满分10分）
    已知函数f(x,y)=x+y+xy，曲线C：x2+y2+xy=3，求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数
    名师讲解
    （18）（本题满分10分）
    （Ⅰ）设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)；
    （Ⅱ）设函数u1(x),u2(x),…,un(x)可导，f(x)=u1(x)u2(x)…un(x)，写出
    f(x)的求导公式
    （19）（本题满分10分）
    名师讲解
    已知曲线L的方程为z=2－x2－y2,
    z=x,起点为A(0,2,0)，终点为B(0,－2,0)，计算曲线积分I=∫L(y+z)dx+(z2－x2+y)dy+(x2+y2)dz
    名师讲解
    （20）（本题满11分）
    设向量组α1,α2,α3为R3的一个基，β1=2α1+2kα3，β2=2α2，β3=α1+(k+1)α3（Ⅰ）证明向量组β1，β2，β3为R3的一个基；
    （Ⅱ）当k为何值时，存在非0向量ξ在基α1,α2,α3与基β1，β2，β3下的坐标相同，并求所有的ξ
    名师讲解
    （21）（本题满分11分）
    设矩阵A=02－3
    －13－3
    1－2a相似于矩阵B=1－20
    0b0
    031
    （Ⅰ）求a,b的值；
    （Ⅱ）求可逆矩阵P，使P－1AP为对角矩阵
    名师讲解
    （22）（本题满分11分）
    设随机变量X的概率密度为f(x)=2－xln2,x>0,
    0,x≤0.对X进行独立重复的观测，直到2个大于3的观测值出现时停止记Y为观测次数
    （Ⅰ）求Y的概率分布；
    （Ⅱ）求EY
    名师讲解
    （23）（本题满分11分）
    设总体X的概率密度为：
    f(x,θ)=11－θ,θ≤x≤1,
    0,其他.
    其中θ为未知参数，x1,x2,…,xn为来自该总体的简单随机样本
    （Ⅰ）求θ的矩估计量；
    （Ⅱ）求θ的最大似然估计量
2015年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题参考答案及解析
    一、选择题
    （1）设函数f(x)在(－∞,+∞)内连续，其中二阶导数f″(x)的图形如图所示，则曲线y=f(x)的拐点的个数为（）
    (A)0(B)1
    （C）2（D）3
    【答案】C
    本题考查拐点的判断，直接利用判断拐点的方法，即当曲线的二阶导数等于0或者二阶导数不存在，但该点两端的二阶导数值异号，则该点为拐点
    【解析】拐点是连续函数凹凸性的分界点，而由于函数是二阶可导的（0点除外），所以可知二阶导数大于0，函数为凹函数，二阶导数小于0，函数是凸函数，因此只需从图象上找到在某点两端二阶导数异号显然这样的点共有两个，所以答案为C
     拐点的判别定理1若在点x0处有f ″(x0)=0(或f ″(x0)不存在)，当x经过x0时，f ″(x)变号，则(x0,f(x0))为函数y=f(x)的图形的拐点.
    拐点的判别定理2设函数f(x)在x0的某邻域内有三阶导数，且f ″(x0)=0,f (x0)≠0,则(x0,f(x0))为函数y=f(x)的图形的拐点.
    （2）设y=12e2x+(x－13)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y″+ay′+by=cex的一个特解，则（）
    (A)a=－3,b=2,c=－1(B)a=3,b=2,c=－1
    （C）a=－3,b=2,c=1（D）a=3,b=2,c=1
    【答案】A
    由已知可得出二阶常系数齐次微分方程y″+ay′+by=0的解，即特征方程的两个根，从而求得a和b的值，将原方程变形并将特解代入，可求出c的值
    【解析】由方程的右端可知，12e2x,－13ex为二阶常系数齐次微分方程y″+ay′+by=0的解，所以2，1为特征方程r2+ar+b=0的根，从而a=－(1+2)=－3，b=1×2=2，原方程变为y″－3y′+2y=cex
    又由题意可知y=xex是原方程的一个特解
    再将特解y=xex代入得c=－1故选A
    此题考查已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，本题采用第二种方法
    （3）若级数∑∞n=1an条件收敛，则x=3与x=3依次为幂级数∑∞n=1nan(x－1)n的（）
    (A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点
    （C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点
    【答案】B
    此题先求出∑∞n=1an(x－1)n的收敛半径，根据幂级数逐项求导不改变收敛区间的性质得出∑∞n=1nan(x－1)n的收敛区间，检验x=3与x=3是否在收敛区间内
    【解析】因为∑∞n=1an条件收敛，即x=2为幂级数∑∞n=1an(x－1)n的条件收敛点，所以∑∞n=1an(x－1)n的收敛半径为1，收敛区间为(0,2)而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故∑∞n=1nan(x－1)n的收敛区间还是(0,2)因而x=3与x=3依次为幂级数∑∞n=1nan(x－1)n的收敛点，发散点故选B
    ①幂级数∑∞n=0anxn的和函数s(x)在其收敛区间（-R,R）内可导，且有逐项求导公式
    s′(x)=(∑∞n=0anxn)′=∑∞n=0(anxn)′=∑∞n=1nanxn-1,x<R.
    逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.

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