目录
    第一篇  高等数学
        第一章  函数、极限与连续（）
            本章考试要求（）
            历年真题分布统计（）
            历年真题分类精讲（）
                考点一  对收敛性及极限性质的考查（）
                考点二  无穷小量的比较（）
                考点三  极限的计算（）
                考点四  渐近线（）
        第二章  一元函数微分学（）
            本章考试要求（）
            历年真题分布统计（）
            历年真题分类精讲（）
                考点一  对导数与微分概念的考查（）
                考点二  导数的计算（）
                考点三  切线与法线（）
                考点四  单调性与凹凸性（）
                考点五  极值与拐点（）
                考点六  对函数性质的讨论（）
        第三章  一元函数积分学（）
            本章考试要求（）
            历年真题分布统计（）
            历年真题分类精讲（）
                考点一  不定积分的计算（）
                考点二  定积分的比较（）
                考点三  定积分的计算（）
                考点四  广义积分（）
                考点五  对变上限积分的讨论与应用（）
                考点六  定积分的应用（）
        第四章  中值定理（）
            本章考试要求（）
            历年真题分布统计（）
            历年真题分类精讲（）
                考点一  罗尔定理的使用（）
                考点二  辅助函数的构造（）
                考点三  双中值问题（）
                考点四  泰勒中值定理的使用（）
        第五章  向量代数和空间解析几何（）
            本章考试要求（）
            历年真题分布统计（）
            历年真题分类精讲（）
                考点一  直线与平面（）
                考点二  空间距离（）
                考点三  简单的曲面（）
        第六章  多元函数微分学（）
            本章考试要求（）
            历年真题分布统计（）
            历年真题分类精讲（）
                考点一  多元函数微分学的概念（）
                考点二  偏导数的计算（）
                考点三  方向导数与梯度（）
                考点四  极值（）
                考点五  多元函数微分学的几何应用（）
        第七章  多元函数积分学（）
            本章考试要求（）
            历年真题分布统计（）
            历年真题分类精讲（）
                考点一  二重积分（）
                考点二  三重积分（）
                考点三  第一类曲线积分（）
                考点四  第二类曲线积分（）
                考点五  第一类曲面积分（）
                考点六  第二类曲面积分（）
                考点七  综合应用（）
        第八章  微分方程（）
            本章考试要求（）
            历年真题分布统计（）
            历年真题分类精讲（）
                考点一  一阶微分方程（）
                考点二  高阶微分方程（）
                考点三  应用问题（）
        第九章  级数（）
            本章考试要求（）
            历年真题分布统计（）
            历年真题分类精讲（）
                考点一  收敛性的判别（）
                考点二  幂级数的收敛域（）
                考点三  幂级数展开（）
                考点四  幂级数求和（）
                考点五  傅里叶级数（）
    第二篇  线性代数
        第一章  行列式（）
            本章考试要求（）
            历年真题分布统计（）
            历年真题分类精讲（）
                考点一  数值型行列式（）
                考点二  抽象型行列式（）
        第二章  矩阵（）
            本章考试要求（）
            历年真题分布统计（）
            历年真题分类精讲（）
                考点一  矩阵的运算（）
                考点二  逆矩阵（）
                考点三  伴随矩阵（）
                考点四  矩阵方程（）
                考点五  初等矩阵（）
                考点六  矩阵的秩（）
        第三章  向量（）
            本章考试要求（）
            历年真题分布统计（）
            历年真题分类精讲（）
                考点一  线性表出（）
                考点二  线性相关（）
                考点三  向量空间（）
        第四章  线性方程组（）
            本章考试要求（）
            历年真题分布统计（）
            历年真题分类精讲（）
                考点一  解的判定（）
                考点二  解的结构（）
                考点三  含参数的线性方程组（）
                考点四  同解与公共解（）
                考点五  线性方程组的几何运用（）
        第五章  特征值和特征向量（）
            本章考试要求（）
            历年真题分布统计（）
            历年真题分类精讲（）
                考点一  特征值与特征向量的计算（）
                考点二  矩阵的相似（）
                考点三  相似对角化（）
                考点四  实对称矩阵（）
                考点五  综合运用（）
        第六章  二次型（）
            本章考试要求（）
            历年真题分布统计（）
            历年真题分类精讲（）
                考点一  二次型的合同标准形（）
                考点二  惯性指数与合同规范形（）
                考点三  正定二次型（）
    第三篇  概率论与数理统计
        第一章  随机事件及其概率（）
            本章考试要求（）
            历年真题分布统计（）
            历年真题分类精讲（）
                考点一  简单概型（）
                考点二  条件概率与独立性（）
                考点三  概率的基本公式（）
        第二章  随机变量及其分布（）
            本章考试要求（）
            历年真题分布统计（）
            历年真题分类精讲（）
                考点一  分布函数和概率密度（）
                考点二  常见分布（）
                考点三  随机变量函数的分布（）
        第三章  多维随机变量及其分布（）
            本章考试要求（）
            历年真题分布统计（）
            历年真题分类精讲（）
                考点一  分布律和概率密度（）
                考点二  边缘分布与条件分布（）
                考点三  常见分布（）
                考点四  独立性（）
                考点五  随机变量函数的分布（）
        第四章  随机变量的数字特征（）
            本章考试要求（）
            历年真题分布统计（）
            历年真题分类精讲（）
                考点一  基本定义（）
                考点二  常见分布的数字特征（）
                考点三  常用公式（）
                考点四  相关系数（）
                考点五  切比雪夫不等式（）
        第五章  数理统计与参数估计（）
            本章考试要求（）
            历年真题分布统计（）
            历年真题分类精讲（）
                考点一  常见统计量（）
                考点二  统计分布（）
                考点三  点估计（）
                考点四  区间估计（）
                考点五  假设检验
 

文摘
 

第一篇  高等数学
第一章  函数、极限与连续

    本章考试要求
    1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．
    2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．
    3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．
    4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．
    5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．
    6．掌握极限的性质及四则运算法则．
    7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．
    8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．
    9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．
    10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．
    历年真题分类精讲
考点一  对收敛性及极限性质的考查
    （一）解题核心要点
    本题型主要考查极限收敛的条件及性质，常见的结论有：
    极限的四则运算法则
    收敛＋收敛＝收敛，收敛＋发散＝发散，发散＋发散＝？；
    收敛×收敛＝收敛，收敛×发散=发散，收敛≠0，
    ？，收敛=0，发散×发散=？．
    （上述结论中的问号表示结果不确定）
    夹逼定理
    若存在自然数N，当n>N时，恒有yn≤xn≤zn，且有limn→∞yn=limn→∞zn=a，则有limn→∞xn=a．
    单调有界收敛定理
    单调递增有上界的数列必有极限；单调递减有下界的数列必有极限；单调无界的数列极限为+∞或-∞．
    极限的保号性
    有两个数列{xn}与{yn}：
    若从某一项N开始，以后所有项都有xn≥yn，则limn→∞xn≥limn→∞yn；
    若有limn→∞xn>limn→∞yn，则从某一项N开始，以后所有项都有xn>yn．
    （二）历年真题精讲
    1．（2003年-4分）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且limn→∞an=0,limn→∞bn=1,limn→∞cn=∞,则必有（）
    （A）an<bn对任意n成立．（B）bn<cn对任意n成立．
    （C）极限limn→∞ancn不存在．（D）极限limn→∞bncn不存在．
    【答案】 D
    【思路分析】 直接借助极限的性质进行推理得出正确选项或是举反例排除错误选项．
    【解析】 方法一：推理法．
    由题设limn→∞bn=1，假设limn→∞bncn存在并记为A，则limn→∞cn=limn→∞bncnbn=A,这与limn→∞cn=∞矛盾，故假设不成立，limn→∞bncn不存在． 所以选项D正确．
    方法二：排除法．
    取an=1n，bn=n-1n，满足limn→∞an=0,limn→∞bn=1, 而a1=1,b1=0,a1>b1，A不正确；
    取bn=n-1n，cn=n-2，满足limn→∞bn=1,limn→∞cn=∞,而b1=0>-1=c1，B不正确；
    取an=1n，cn=n-2，满足limn→∞an=0,limn→∞cn=∞,而limn→∞ancn=1，C不正确．
    （1）选项A,B容易和极限的保号性混淆，根据保号性：limn→∞an<limn→∞bn，所以存在N>0，当n>N时，有an<bn．但要注意的是这里an<bn只有对足够大的n（n>N）才成立，无法保证对每一项都成立．
    （2）结合本题的推理过程和极限的四则运算法则，可以总结出如下结论：两个收敛的数列相乘一定是收敛的；收敛的数列和发散的数列相乘之后是否收敛取决于收敛的数列极限值，如果该极限值不为零，则一定发散，如果该极限值为零，则有可能收敛也有可能发散．同样的结论对函数极限也是成立的．
    2．（2007年-4分）设函数f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f ″(x)>0,令un=f(n)(n=1,2,…)则下列结论正确的是()
    (A)若u1>u2,则{un}必收敛.(B)若u1>u2,则{un}必发散.
    (C)若u1<u2,则{un}必收敛.(D)若u1<u2,则{un}必发散.
    【答案】 D
    【思路分析】 对于这种类型的题目，常用举反例法，
    f(x)=1xf ″(x)=2x3>0(x>0).un=f(n),limn→+∞f(n)=0.
    又如，
    f(x)=1x-xf ″(x)=2x3>0(x>0).
    un=f(n)=1n-n,但limn→+∞un=-∞.
    因此A，B不正确．
    设f(x)=xt,(t≥2),则可知C不正确，而D正确，因此选D．
    【解析】 方法一：设f(x)=x2,则f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数，且f ″(x)>0,u1<u2，但{un}={n2}发散，排除C.
    设f(x)=1x,则f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数，且f ″(x)>0,u1>u2，但{un}={1n}收敛，排除B.
    设f(x)=-lnx，则f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数，且f ″(x)>0,u1>u2，但{un}={-lnn}发散，排除A.故应选D.
    方法二：由拉格朗日中值定理，有
    un+1-un=f(n+1)-f(n)=f ′(ξn)(n+1-n)=f ′(ξn),
    其中ξn∈(n,n+1),(n=1,2,…).由f ″(x)>0知，f ′(x)单调增加，故
    f ′(ξ1)<f ′(ξ2)<…<f ′(ξn)<…，
    所以un+1=u1+∑nk=1(uk+1-uk)=u1+∑nk=1f ′(ξk)>u1+nf ′(ξ1)=u1+n(u2-u1),
    于是当u2-u1>0时，有limn→∞un+1=+∞，故选D．
    3．（2008年-4分）设函数f（x）在（-∞,+∞）内单调有界，xn为数列，下列命题正确的是（）
    （A）若xn收敛，则f（xn）收敛．（B）若xn单调，则f（xn）收敛．
    （C）若{f（xn）}收敛，则{xn}收敛．（D）若{f（xn）}单调，则{xn}收敛．
    【答案】 B
    【思路分析】 由题干的信息很容易联想到单调有界收敛定理，所以应该把讨论的焦点放在哪个选项能确保所给数列满足单调有界收敛定理的条件上．
    【解析】 方法一：推理法．
    由于f（x）在（-∞,+∞）内有界，可知不管数列xn取成什么，数列f（xn）总是有界的．如果再有条件能保证f（xn）单调，就能得到f（xn）收敛了．注意到函数f（x）本身是单调的，可见，如果xn单调，那么{f（xn）}也是单调的，从而可以得到{f（xn）}收敛．可知，B是正确的．
    方法二：排除法．
    如果f（x）连续，那么在xn收敛的前提下是可以得到f（xn）收敛的．可见，选项A的问题在于不能确保函数f（x）是连续的．可以举反例：f（x）=arctanx+1,x>0，
    arctanx,x≤0，容易检验f（x）在（-∞,+∞）内是单调有界的；再取xn=-1nn，容易检验xn收敛，但f（xn）发散（n取奇数和偶数时极限不一致）．可知，选项A是错误的．
    由于只要xn单调就可以保证f（xn）收敛，故可以取xn=n，此时f（xn）是收敛的，但xn发散．同样，对于上述的xn，f（xn）也是单调的，但xn发散．可知选项C和D都是错误的．

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