目录
    第一章  行列式
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            (一)选择题
            (二)填空题
            (三)解答题
        参考答案
    第二章 矩阵
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            (一)选择题
            (二)填空题
            (三)解答题
        参考答案
    第三章 向量
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            (一)选择题
            (二)填空题
            (三)解答题
        参考答案
    第四章 线性方程组
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            (一)选择题
            (二)填空题
            (三)解答题
        参考答案
    第五章 矩阵的特征值和特征向量
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            (一)选择题
            (二)填空题
            (三)解答题
        参考答案
    第六章 二次型
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            (一)选择题
            (二)填空题
            (三)解答题
        参考答案
    附录 近三年考研数学（一）真题及解析
        2015年全国硕士研究生招生考试数学(一)试题
        2015年全国硕士研究生招生考试数学(一)试题参考答案及解析
        2014年全国硕士研究生招生考试数学(一)试题
        2014年全国硕士研究生招生考试数学(一)试题参考答案及解析
        2013年全国硕士研究生招生考试数学(一)试题
        2013年全国硕士研究生招生考试数学(一)试题参考答案及解析
 

文摘
 

第四章 线性方程组

    一、考试内容及要求
    考试内容
    线性方程组的克拉默（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解
    考试要求
    1．会用克拉默法则．
    2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．
    3．理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．
    4．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．
    5．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．
    二、专项训练
    1.(★☆☆)某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换,化为1-123-4
    0015-2
    00020，则自由变量可取为
    (1)x4，x5；(2)x3，x5；
    (3)x1，x5；(4)x2，x3.
    那么正确的共有()
    (A)1个.         (B)2个.
    (C)3个.   (D)4个.
    2.(★☆☆)已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax＝b的三个不同的解，那么下列向量
    α1－α2，α1＋α2－2α3，23(α2-α1)，α1－3α2＋2α3
    中能导出方程组Ax＝0的解向量共有()
    (A)4个.         (B)3个.
    (C)2个.          (D)1个.
    3.(★☆☆)已知α1＝(1，1，－1)T，α2＝(1，2，0)T是齐次方程组Ax＝0的基础解系，那么下列向量中Ax＝0的解向量是()
    (A)(1，－1，3)T.         (B)(2，1，－3)T.
    (C)(2，2，－5)T.        (D)(2，－2，6)T.
    4.(★☆☆)设n元齐次线性方程组Ax＝0的系数矩阵A的秩为r，则Ax＝0有非零解的充分必要条件是()
    (A)r＝n.(B)r ≥n.
    (C)r<n.(D)r>n.
    5.(★★☆)已知4阶方阵A＝(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1＋2α2－α3＝β，α1＋α2＋α3＋α4＝β，2α1＋3α2＋α3＋2α4＝β，k1，k2为任意常数，那么Ax＝β的通解为()
    (A)1
    2
    -1
    0+k11
    1
    1
    1+k22
    3
    1
    2.(B)1
    1
    1
    1+k11
    2
    0
    1+k20
    1
    -2
    -1.
    (C)2
    3
    1
    2+k12
    3
    0
    1+k21
    1
    2
    2.(D)0
    1
    -2
    -1+k11
    2
    0
    1+k21
    1
    2
    2.
    6.(★★☆)已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax＝b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程Ax＝0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax＝b的通解是()
    (A)k1α1＋ k2(α1+α2)＋β1-β22.(B)k1α1＋ k2(α1－α2)＋β1+β22.
    (C)k1α1＋ k2(β1＋β2)＋β1-β22.(D)k1α1＋ k2(β1－β2)＋β1+β22.
    7.(★★☆)三元一次方程组x+2y+z=1,
    2x+3y+z=3,
    x-y-2z=0所代表的三个平面的位置关系为()
    (A)(B)(C)(D)
    8.(★☆☆)设A是m×n矩阵，Ax＝0是非齐次线性方程组Ax＝b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是()
    (A)若Ax＝0仅有零解，则Ax＝b有唯一解.
    (B)若Ax＝0有非零解，则Ax＝b有无穷多个解.
    (C)若Ax＝b有无穷多个解，则Ax＝0仅有零解.
    (D)若Ax＝b有无穷多个解，则Ax＝0有非零解.
    9.(★☆☆)要使ξ1=1
    0
    2,ξ2=0
    1
    -1都是线性方程组Ax＝0的解，只要系数矩阵A为()
    (A)［-211］.(B)20-1
    011.
    (C)-102
    01-1.(D)01-1
    4-2-2
    011.
    10. (★★☆)设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(Ⅰ)Ax＝0和(Ⅱ)ATAx＝0，必有()
    (A)(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解.
    (B)(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解.
    (C)(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解.
    (D)(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也不是(Ⅱ)的解.
    11. (★★☆)设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx＝0和(Ⅱ)An＋1x＝0，现有四个命题
    (1)(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解；       (2)(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解；
    (3)(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解；       (4)(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解.
    以上命题中正确的是()
    (A)(1)(2).(B)(1)(4).
    (C)(3)(4).(D)(2)(3).
    12. (★★☆)设矩阵Am×n的秩为r(A)＝m<n，Im为m阶单位矩阵，则下述结论中正确的是()
    (A)A的任意m个列向量必线性无关.
    (B)A的任意一个m阶子式不等于零.
    (C)A通过初等行变换，必可以化为(ImO)的形式.
    (D)非齐次线性方程组Ax＝b一定有无穷多解.
    13. (★☆☆)非齐次线性方程组Ax＝b中未知量的个数为n，方程个数为m，系数矩阵的秩为r，则()
    (A)r＝m时，方程组Ax＝b有解.
    (B)r＝n时，方程组Ax＝b有唯一解.
    (C)m＝n时，方程组Ax＝b有唯一解.
    (D)r<n时，方程组有无穷多个解.
    14. (★☆☆)设α1，α2，α3是4元非齐次线性方程组Ax＝b的3个解向量，且r(A)＝3，α1＝(1，2，3，4)T，α2＋α3＝(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组Ax＝b的通解x＝()
    (A)1
    2
    3
    4+c1
    1
    1
    1.(B)1
    2
    3
    4+c0
    1
    2
    3.
    (C)1
    2
    3
    4+c2
    3
    4
    5.(D)1
    2
    3
    4+c3
    4
    5
    6.
    15. (★☆☆)设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x＝0()
    (A)当n>m时,仅有零解.(B)当n>m时,必有非零解.
    (C)当m>n时,仅有零解.(D)当m>n时,必有非零解.
    16. (★☆☆)设有齐次线性方程组Ax＝0和Bx＝0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题：
    ①若Ax＝0的解均是Bx＝0的解，则r(A)≥r(B)；
    ②若r(A)≥r(B)，则Ax＝0的解均是Bx＝0的解；
    ③若Ax＝0与Bx＝0同解，则r(A)＝r(B)；
    ④若r(A)＝r(B)，则Ax＝0与Bx＝0同解.
    以上命题中正确的有()
    (A)①②.(B)①③.
    (C)②④.(D)③④.
    17. (★☆☆)设β1，β2为非齐次方程组的2x1-x2+x3=1,
    x2+x3=0的解向量，α1，α2为对应齐次方程组的解，则()
    (A)β1+β2+2α1为该非齐次方程组的解.
    (B)β1+α1+α2为该非齐次方程组的解.
    (C)β1+β2为该非齐次方程组的解.
    (D)β1-β2+α1为该非齐次方程组的解.
    18. (★☆☆)n元线性方程组Ax＝B有两个解a，c，则下列方程的解是a-c的是()
    (A)2Ax＝B.   (B)Ax＝0.
    (C)Ax＝A.  (D)Ax＝C.
    19. (★☆☆)非齐次线性方程组Ax＝B中，系数矩阵A和增广矩阵的秩都等于4，A是4×6矩阵，则()
    (A)无法确定方程组是否有解.(B)方程组有无穷多解.
    (C)方程组有唯一解.(D)方程组无解.
    20. (★☆☆)对于齐次线性方程组x1+2x2+3x3=0,
    2x1+5x2+3x3=0,
    x1+8x3=0而言，它的解的情况是()
    (A)有两组解.(B)无解.
    (C)只有零解.(D)无穷多解.
    21. (★☆☆)齐次线性方程组
    λx1+x2+λ2x3=0,
    x1+λx2+x3=0,
    x1+x2+λx3=0
    的系数矩阵记为A.若存在3阶矩阵B≠O，使得AB=O，则()
    (A)λ=-2且B=0.(B)λ=-2且B≠0.
    (C)λ=1且B=0.(D)λ=1且B≠0.
    22. (★☆☆)设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若rAα
    αT0=r(A)，则线性方程组()
    (A)Ax=α必有无穷多解.(B)Ax=α必有唯一解.
    (C) Aα
    αT0x
    y仅有零解.(D) Aα
    αT0x
    y必有非零解.
    23. (★☆☆)设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax＝0的基础解系()
    (A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.
    (C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.

1. (★☆☆)设A为3×3矩阵，且方程组Ax＝0的基础解系含有两个解向量，则r(A)＝.
    2.(★☆☆)设A是一个五阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若η1，η2是齐次线性方程组Ax＝0的两个线性无关的解，则r(A*)＝.
    3.(★☆☆)设A＝121-1
    3a+5-1-3
    510a-5，若Ax＝0的解空间是二维空间，那么a＝.
    4.(★☆☆)方程组3x1+kx2-x3=0，
    4x2-x3=0，
    4x2+kx3=0有非零解，则k＝.
    5.(★☆☆)设A＝111
    201
    -110，A*是A的伴随矩阵，则A*x＝0的通解是.
    6.(★☆☆)已知方程组2x1+λx2-x3=b1，
    λx1-x2+x3=b2，
    4x1+5x2-5x3=b3总有解，则λ应满足的条件是.
    7.(★☆☆)已知方程组x1+x2+2x3=a，
    3x1-x2-6x3=a+2，
    x1+4x2+11x3=a+3有无穷多解，那么a＝.
    8.(★☆☆)已知α1，α2是方程组
    x1-x2-ax3=3，
    2x1-3x3=1，
    -2x1+ax2+10x3=4
    的两个不同的解向量，则a＝.
    9.(★☆☆)四元方程组Ax＝b的三个解是α1，α2，α3，其中α1＝(1，1，1，1)T，α2＋α3＝(2，3，4，5)T，如果r(A)＝3，则方程组Ax＝b的通解是.
    10. (★☆☆)设α1＝(6，－1，1)T与α2＝(－7，4，2)T是线性方程组
    a1x1+a2x2+a3x3=a，
    x1+3x2-2x3=1，
    2x1+5x2+x3=8
    的两个解，那么此方程组的通解是.
    11. (★☆☆)齐次线性方程组x1+x2+x3+x4=0，
    x1+2x2+4x3+4x4=0，
    2x1+3x2+5x3+5x4=0的一个基础解系为.
    12. (★☆☆)设A＝123
    456
    789，A*是A的伴随矩阵，则A*x＝0的通解是.
    13. (★☆☆)齐次方程组(λ+4)x1+3x2=0
    4x1+x3=0
    -5x1+λx2-x3=0有非零解，则λ＝.
    14. (★☆☆)设n阶矩阵A的秩为n－2，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax＝b的三个线性无关的解，则Ax＝b的通解为.
    15. (★☆☆)设A是秩为3的5×4矩阵，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax＝b的三个不同的解，如果α1＋α2＋2α3＝(2，0，0，0)T，3α1＋α2＝(2，4，6，8)T，则方程组Ax＝b的通解是.
    16. (★☆☆)线性方程组x1+2x3=-1，
    -x1+x2-3x3=2，
    2x1-x2+5x3=a有解，则未知量a＝.
    17. (★☆☆)设A＝（aij）是3阶正交矩阵，其中a33＝－1，b＝(0,0,5)T，则线性方程组Ax＝b必有一个解是.
    18. (★☆☆)非齐次方程组x1+x2+x3+x4+x5=7，
    3x1+2x2+x3+x4-3x5=-2，
    x2+2x3+2x4+6x5=23，
    5x1+4x2-3x3+3x4-x5=12的通解是.
    19. (★☆☆)已知齐次线性方程组a11x1+a12x2+a13x3+a14x4=0,
    a21x1+a22x2+a23x3+a24x4=0(Ⅰ)
    有通解k1（2，－1，0，1）T＋k2（3，2，1，0）T，则方程组
    a11x1+a12x2+a13x3+a144x4=0,
    a21x1+a22x2+a23x3+a24x4=0,
    x1-2x2+x4=0(Ⅱ)
    的通解是.
    20. (★☆☆)已知方程组(Ⅰ)x1+2x2-x3=0,
    2x1+3x2+x3=0,(Ⅱ)x1＋5x3＝0，那么(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解是.

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