目录
    第一章 函数、极限、连续
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            （一)选择题
            （二)填空题
            （三)解答题
        参考答案
    第二章 一元函数微分学
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            （一)选择题
            （二)填空题
            （三)解答题
        参考答案
    第三章 一元函数积分学
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            （一)选择题
            （二)填空题
            （三)解答题
        参考答案
    第四章  向量代数和空间解析几何
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            （一)选择题
            （二)填空题
            （三)解答题
        参考答案
    第五章 多元函数微分学
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            （一)选择题
            （二)填空题
            （三)解答题
        参考答案
    第六章 多元函数积分学
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            （一)选择题
            （二)填空题
            （三)解答题
        参考答案
    第七章 无穷级数
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            （一)选择题
            （二)填空题
            （三)解答题
        参考答案
    第八章 常微分方程
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            （一)选择题
            （二)填空题
            （三)解答题
        参考答案
    附录 近三年考研数学（一）真题及解析
        2015年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
        2015年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题参考答案及解析
        2014年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
        2014年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题参考答案及解析
        2013年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
        2013年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题参考答案及解析
 

文摘
 

第一章 函数、极限、连续

    一、考试内容及要求
    考试内容
    函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立
    数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：
    函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质
    考试要求
    1理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系
    2了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性
    3理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念
    4掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念
    5理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系
    6掌握极限的性质及四则运算法则
    7掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法
    8理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限
    9理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型
    10了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质
    二、专项训练
    1.(★☆☆)设f(x)=1，x≤1,
    0，x>1,则f(f(f(x)))等于()
    (A)0.(B)1.
    (C)1，x≤1,
    0，x>1.(D)0，x≤1,
    1，x>1.
    2.(★★☆)下列各题计算过程中正确无误的是()
    (A)数列极限limn∞lnnn=limn∞(lnn)′n′=limn∞1n=0.
    （B）limx1sinπx3x2－2x－1=limx1πcosπx6x－2=limx0－π2sinπx6=0.
    （C）limx0x2sin1xsinx=limx02xsin1x－cos1xcosx不存在.
    (D)limx0x+sinxx-sinx=limx01+cosx1-cosx=∞.
    3.(★☆☆)下列各式中正确的是()
    (A)limx0+1+1xx=1.
    (B)limx0+1+1xx=e.
    (C)limx∞1-1xx=-e.
    (D)limx∞1+1x-x=e.
    4.(★☆☆)设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且limx∞f(x)=a，g(x)=f(1x)，x≠0,
    0，x=0，则()
    (A)x=0必是g(x)的第一类间断点.
    (B)x=0必是g(x)的第二类间断点.
    (C)x=0必是g(x)的连续点.
    (D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关.
    5.(★★☆)设x→0时ax2+bx+c-cosx是比x2高阶无穷小，其中a，b，c为常数，则()
    (A)a=12 ，b=0，c=1.(B)a=-12 ，b=0，c=0.
    (C)a=-12，b=0，c=1.(D)a=12，b=0，c=0.
    6.(★☆☆)设数列xn与yn满足limn→∞xnyn=0，则下列判断正确的是()
    (A)若xn发散，则yn必发散.
    (B)若xn无界，则yn必无界.
    (C)若xn有界，则yn必为无穷小.
    (D)若1xn为无穷小，则yn必为无穷小.
    7.(★★☆)设x→0时,(1+sinx)x-1是比xtanxn低阶的无穷小，而xtanxn是比(esin2x-1)ln(1+x2)低阶的无穷小，则正整数n等于()
    (A)1.(B)2.
    (C)3.(D)4.
    8.(★★☆)设f(x)和φ(x)在(-∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则()
    (A)φ(f(x))必有间断点.(B)［φ(x)］2必有间断点.
    (C)f(φ(x))必有间断点.(D)φ(x)f(x)必有间断点.
    9.(★★☆)极限lim(x,y)(0,0)xyx2+2y2()
    (A)不存在.(B)等于1.
    (C)等于2.(D)等于12.
    名师讲解
    10. (★★★)设x→a时,f(x)与g(x)分别是x-a的n阶与m阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是()
    ① f(x)g(x)是x-a的n+m阶无穷小.
    ②若n＞m，则f(x)g(x)是x-a的n-m阶无穷小.
    ③若n≤m，则f(x)+g(x)是x-a的n阶无穷小.
    (A)1.(B)2.
    (C)3.(D)0.
    11. (★☆☆)曲线y=1+e-x21-e-x2 ()
    (A)没有渐近线.(B)仅有水平渐近线.
    (C)仅有垂直渐近线.(D)既有水平渐近线也有垂直渐近线.
    12. (★☆☆)设函数f(x)在x=a的某个邻域内连续，且f(a)为其极大值，则存在δ＞0，当x∈(a-δ，a+δ)时，必有()
    (A)(x-a)［f(x)-f(a)］≥0.
    (B)(x-a)［f(x)-f(a)］≤0.
    (C)limtaf(t)-f(x)(t-x)2≥0，(x≠a).
    (D)limtaf(t)-f(x)(t-x)2≤0，(x≠a).
    名师讲解
    13. (★★★)以下极限等式(若右端极限存在，则左端极限存在且相等)成立的个数是()
    ①设limxafi(x)=0(i=1,2),且f1(x)～f2(x)(x→a)，又limxag(x)=∞，则limxa(1+f1(x))g(x)=limxa(1+f2(x))g(x) .
    ②设limxafi(x)=limxagi(x)=0， fi(x)＞0，(0＜x-a＜δ )，i=1,2，且f1(x)～f2(x)，g1(x)～g2(x)(x→a)，则limxaf1(x)g1(x)=limxaf2(x)g2(x).
    ③设limxafi(x)=limxagi(x)=0(i=1，2)，limxah(x)=0， f1(x)～f2(x)，g1(x)～g2(x)(x→a),又limxaf1(x)g1(x)=r≠1，则limxaf1(x)-g1(x)h(x)=limxaf2(x)-g2(x)h(x).
    (A)0.(B)1.
    (C)2.(D)3.
    14. (★☆☆)当x→0时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个高阶的无穷小()
    (A)x2.(B)1-cosx.
    (C)1-x2-1.(D)x-tanx.
    15. (★☆☆)f(x)=xsinxecosx(x∈R)是()
    (A)有界函数.(B)单调函数.
    (C)周期函数.(D)偶函数.
    16. (★★☆)设f(x)=(x+1)arctan1x2-1,x≠±1，
    0，x＝±1，则()
    (A)f(x)在点x=1连续，在点x=-1间断.
    (B)f(x)在点x=1间断，在点x=-1连续.
    (C)f(x)在点x=1，x=-1都连续.
    (D)f(x)在点x=1，x=-1都间断.
    17. (★☆☆)当x→1时，函数x2-1x-1e1x-1的极限()
    (A)等于2.(B)等于0.
    (C)为∞.(D)不存在，但不为∞.
    18. (★☆☆)函数f(x)=xsinx()
    (A)当x→∞时为无穷大.(B)在(-∞，+∞)内有界.
    (C)在(-∞，+∞)内无界.(D)当x→∞时有有限极限.
    19. (★★☆)设数列极限函数f(x)=limn∞ arctan(1+x2n1+xn)，则f(x)的定义域I和f(x)的连续区间J分别是()
    (A)I=(-∞，+∞)，J=(-∞，+∞).
    (B)I=(-1，+∞)，J=(-1，1)∪(1，+∞).
    (C)I=(-1，+∞)，J=(-1，+∞).
    (D)I=(-1，1)，J=(-1，1).
    20. (★★☆)设f(x)可导，f(x)=0，f ′(0)=2，F(x)=∫x0t2f(x3-t3)dt，g(x)=x75+x66，则当x→0时，F(x)是g(x)的()
    (A)低阶无穷小.
    (B)高阶无穷小.
    (C)等价无穷小.
    (D)同阶但非等价无穷小.
    21. (★☆☆)设f(x)在点x0的某邻域内有定义，且f(x)在x0间断，则在点x0处必定间断的函数是()
    (A)f(x)sinx.(B)f(x)+sinx.
    (C)f 2(x).(D)f(x).
    22. (★★☆)设当x→0时，(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比(ex2-1)高阶的无穷小，则正整数n等于()
    (A)1.(B)2.
    (C)3.(D)4.
    23. (★☆☆)设f(x)在x0点连续，且在x0一空心邻域中有f(x)＞0，则()
    (A)f(x0)＞0.(B)f(x0)≥0.
    (C)f(x0)＜0.(D)f(x0)=0.
    24. (★★☆)把x→0+时的无穷小量α=∫x0cost2dt，β＝∫x20tantdt，γ＝∫x0sint3dt排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是()
    (A)α，β，γ.(B)α，γ，β.
    (C)β，α，γ.(D)β，γ，α.
    25. (★★☆)函数f(x)=limn∞x2n-1x2n+1的间断点及类型是()
    (A)x=1为第一类间断点，x=-1为第二类间断点.
    (B)x=±1均为第一类间断点.
    (C)x=1为第二类间断点，x=-1为第一类间断点.
    (D)x=±1均为第二类间断点.
    26. (★☆☆)设f(x)=x2，x≤0,
    x2+x，x>0，则()
    (A)f(-x)=-x2，x≤0,
    -(x2+x)，x>0.
    (B)f(-x)=-(x2+x)，x<0,
    -x2，x≥0.
    (C)f(-x)=x2，x≤0,
    x2-x，x>0.
    (D)f(-x)=x2-x，x<0,
    x2，x≥0.
    27. (★☆☆)设f(x)在R上连续，且f(x)≠0，φ(x)在R上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是()
    ①φ［f(x)］必有间断点.
    ②［φ(x)］2必有间断点.
    ③f［φ(x)］没有间断点.
    (A)0.(B)1.
    (C)2.(D)3.
    28. (★☆☆)设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且limx∞［g(x)-φ(x)］=0，则limx∞f(x)()
    (A)存在且等于零.
    (B)存在但不一定为零.
    (C)一定不存在.
    (D)不一定存在.
    29. (★☆☆)设f(x)=2x+3x-2，则当x→0时()
    (A)f(x)是x等价无穷小.
    (B)f(x)与x是同阶，但非等价无穷小.
    (C)f(x)是比x高阶的无穷小.
    (D)f(x)是比x低阶的无穷小.
    30. (★★☆)设limx0atanx+b(1-cosx)cln(1-2x)+d(1-e-x2)=2，其中a2+c2≠0，则必有()
    (A)b=4d.(B)b=-4d.
    (C)a=4c.(D)a=-4c.
    31. (★★☆)当x→0时，ex-(ax2+bx+1)是比x2高阶的无穷小，则()
    (A)a=12，b=1.(B)a=1，b=1.
    (C)a=12，b=-1.(D)a=-1，b=1.
    32. (★★☆)设函数f(x)=xa+ebx在(-∞，+∞)内连续，且limx-∞f(x)=0，则常数a，b满足()
    (A)a＜0，b＜0.(B)a＞0，b＞0.
    (C)a≤0，b＞0.(D)a≥0，b＜0.

1. (★☆☆)limx→0 x2sin1x=.
    2. (★☆☆)limx→∞arctanxx=.
    3. (★★☆)设xn=1+1221+124…1+122n，则limn→∞xn=.
    4. (★☆☆)limx→0（1+3x）2sinx=.
    5. (★★☆)limx→03sinx+x2cos1x(1+cosx)ln(1+x)=.
    6. (★★☆)limx→01+x+1-x-2x2=.
    名师讲解
    7. (★★★)limx→02x2+3x22x+3x1x=.
    8. (★☆☆)设limx→∞x+2ax-ax=8，则a=.
    9. (★★☆)设a>0，a≠1，且limx→+∞xpa1x-a1x+1=lna，则p=.
    10. (★★☆)limx→0(cosx)1ln(1+x2)=.
    11. (★★☆)limx→+∞6x6+x5-6x6-x5=.
    12. (★☆☆)limx→0xln(1+x)1-cosx=.
    13. (★★☆)设a1，a2，…，am为正数(m≥2)，则limn→∞(an1+an2+…+anm)1n=.
    14. (★★☆)limx→01+tanx-1+sinxx1+sin2x-x=.
    15. (★★☆)［x］表示x的最大整数部分，则limx→0x2x=.
    16. (★★☆)数列xn=ne(1+1n)-n-1，则limn→∞xn=.
    17. (★☆☆)若f(x)=xsin1x,x>0,
    a+x2,x≤0在(-∞,+∞)内连续，则a=.
    18. (★★☆)设函数f(x)在x=1连续，且f(1)=1，则limx→+∞ln［2+f(x1x)］ =.
    19. (★★☆)设函数f(x)=ln(1+x2)1+x2,-∞<x≤1,
    Aearctanx,1<x<+∞,f (x)在(－∞，＋∞)上连续，则A=.
    20. (★☆☆)limx→0ln(1+x2)secx-cosx=.

1. (★☆☆)求心形线r=a(1+cosθ)的全长，其中a＞0是常数.
    2. (★★☆)设f(x)连续,φ(x)=∫10f(xt)dt,且limx→0f(x)x=A(A为常数)，求φ′(x)，并讨论φ′(x)在x=0处的连续性.
    3. (★☆☆)求limx→0(2+e1x1+e4x+sinxx).
    4. (★☆☆)已知两曲线y=f(x)与y=∫arctanx0e-t2dt在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程，并求极限limn→∞nf(2n).
    名师讲解
    5. (★★★)设数列{xn}满足0＜x1＜π,xn+1=sinxn(n=1,2,…).
    (1)证明limn→∞ xn存在，并求该极限;
    (2)计算limn→∞xn+1xn1x2n.
    6. (★★☆)求极限limx→0［(1+x)1x-e］sin ln(1+x)1+xsinx-1.
    7. (★☆☆)求极限limx→0［sinx-sin(sinx)］sinxx4.
    8. (★☆☆)求极限limx→0ln(1+x)x1ex-1.
    名师讲解
    9. (★★★)证明：(1)对任意正整数n，都有1n+1＜ln(1+1n)＜1n成立；
    (2)设an=1+12+…+1n-ln n(n=1,2,…)，证明{an}收敛.
    10. (★★☆)设x1=a＞0,y1=b＞0,(a≤b),且xn+1=xnyn,yn+1=xn+yn2,n=1,2,…,证明：
    (1)limn→∞xn,limn→∞ yn均存在；
    (2)limn→∞xn=limn→∞yn.
    11. (★★☆)设函数f(x)在x=1的某邻域内连续，且有
    limx→0ln［f(x+1)+1+3sin2x］1-x2-1=-4.
    求f(1)及limx→0f(x+1)x2.
    12. (★★☆)求下列极限.
    (1)limx→∞y→a1+1xyx2x+y(a≠0);
    (2)lim(x,y)→(0,0)x2y32x4+y2.
    13. (★☆☆)计算：limx→0sinxx1x2.
    14. (★★☆)求limx→+∞xx+1(1+x)x-xe.
    15. (★★☆)求limx→0+ln1-2+cosx3x-3lnx.
    名师讲解
    16. (★★★)求limn→∞ tannπ4+2n.
    17. (★★☆)求limx→01-cosxcos2x…cosnxx2.
    18. (★★☆)求limx→0∫x0du∫u0［u2-3sin(u-t)2］dtx8.
    19. (★★★)设f(x)=limn→∞x2n-1+ax2+bxx2n+1，求常数a与b的值，使f(x)在(-∞,+∞)上处处连续.
    参考答案
    （一）选择题
    1.【答案】B
    【解析】由题设
    f(f(x))=1,f(x)≤1,
    0,f(x)>1,
    而由
    f(x)=1,x≤1,
    0,x>1,
    可知f(x)≤1，因此f(f(f(x)))=1.故选B.
    2.【答案】D
    【解析】A项错误，数列没有导数概念，不能直接用洛必达法则.
    B项错误，limx1πcosπx6x-2是定式，不能用洛必达法则.
    C项错误，用洛必达法则求00型极限limxaf(x)g(x)时，若limxaf ′(x)g′(x)不存在，也不为∞，法则失效，因此不能推出原极限不存在，事实上该极限是存在的.故选D.
    3.【答案】A
    【解析】由重要极限结论limx∞1+1xx=e，可立即排除B、D.
    对于A、C选项，只要验算其中之一即可.
    对于C选项，因limx∞1-1xx=limx∞1-1x-x-1=e-1，故C不正确，选A.
    4.【答案】D
    【解析】因为
    limx0g(x)=limx0f1x1x=ulimu→∞f(u)=a，
    又g(0)=0，所以当a=0时，有
    limx0g(x)=g(0).
    也就是说，此时g(x)在点x=0处连续，当a≠0时，limx0g(x)≠g(0)，即x=0是g(x)的第一类间断点.因此，g(x)在x=0处的连续性与a的取值有关，故选D.
    5.【答案】C
    【解析】由题意得limx0(ax2+bx+c-cosx)=0,得c=1，
    又因为
    limx0ax2+bx+c-cosxx2=limx0a+bx+1-cosxx2=0,
    所以得b=0，a=-12.故选C.
    6.【答案】D
    【解析】取xn=n，yn=0，显然满足，由此可排除A、B.若取xn=0，yn=n，也满足，又排除C，故选D.
    7.【答案】B
    【解析】当x→0时，
    (1+sinx)x-1～ln［(1+sinx)x-1+1］=xln(1+sinx) ～xsinx～x2，
    （esin2x-1）ln(1+x2)～sin2x?x2～x4,
    而xtanxn～x?xn=xn+1.因此2＜n+1＜4，则正整数n=2，故选B.
    8.【答案】D
    【解析】取f(x)=1，x∈(-∞，+∞)，φ(x)=1,x≥0，
    -1,x<0，则f(x)，φ(x)满足题设条件.由于φ(f(x))=1,［φ(x)］2=1,f(φ(x))=1都是连续函数，故可排除A、B、C，应选D.
    9.【答案】A
    【解析】由于
    lim(x,y)(0,0)y=kxxyx2+2y2=limx0kx2x2+2k2x2=k1+2k2，
    与k的取值有关，则极限lim(x,y)(0,0)xyx2+2y2不存在，故选A.
    10.【答案】B
    【解析】此类问题要逐一进行分析，按无穷小阶的定义：
    关于①：
    limxaf(x)(x-a)n=A≠0，limxag(x)(x-a)m=B≠0，
    因此有limxaf(x)g(x)(x-a)n+m=limxaf(x)(x-a)n?limxag(x)(x-a)m=A?B≠0，
    故 f(x)g(x)是(x-a)的n+m阶无穷小；
    关于②：
    若n＞m，
    limxaf(x)g(x)(x-a)n-m=limxaf(x)(x-a)nlimxag(x)(x-a)m=AB≠0
     故 f(x)/g(x)是(x-a)的n-m阶无穷小；
    关于③：
    例如，x→0时，sinx与-x均是x的一阶无穷小，但
    limx0sinx-xx3=limx0cosx-13x2=-16.
    即sinx+(-x)是x的三阶无穷小.
    因此①，②正确，③错误.故选B.
    11.【答案】D
    【解析】显然x=0是函数y=1+e-x21-e-x2的间断点.
    因为limx01+e-x21-e-x2=∞，故x=0是该函数的无穷型间断点，即x=0是该曲线的垂直渐近线.
    又因limx∞1+e-x21-e-x2=1，故原曲线有水平渐近线y=1，因此选D.
    12.【答案】C
    【解析】选项A、B显然不正确.
    由f(a)是f(x)的极大值，即f(a)-f(x)≥0,可见
    f(a)-f(x)(a-x)2≥0，x∈(a-δ，a+δ)成立.
    因此选C.
    13.【答案】D
    【解析】逐一进行分析，证明三项均成立.
    关于①：
    limxa (1+f1(x))g(x)=limxaeg(x)ln(1+f1(x))=limxaeg(x)ln(1+f2(x))
    =limxa(1+f2(x))g(x),
    其中 limxag(x)ln(1+f1(x))=limxag(x)f1(x)=limxag(x)f2(x)=limxag(x)ln(1+f2(x)),
    这里，ln(1+fi(x))～fi(x)(xa,i=1,2).
    关于②：
    limxag1(x)lnf1(x)=limxag2(x)lnf2(x)?f1(x)f2(x)
    =limxag2(x)lnf2(x)+limxag2(x)lnf1(x)f2(x)=limxag2(x)lnf2(x)，
    因此limxaf1(x)g1(x)=limxaeg1(x)lnf1(x)=limxaeg2(x)lnf2(x)
    =limxaf2(x)g2(x).
    关于③：可直接证明，f1(x)-g1(x)～f2(x)-g2(x)(xa)，
     limxaf1(x)-g1(x)f2(x)-g2(x)= limxaf1(x)g1(x)-1g1(x)f2(x)g2(x)-1g2(x)
    = limxaf1(x)g1(x)-1f2(x)g2(x)-1 limxag1(x)g2(x)=r-1r-1?1=1.
    故选D.
    14.【答案】D
    【解析】利用等价无穷小代换.
    由于x→0时，1-cosx～12x2,1-x2-1～-12x2，所以当x→0时，B、C与A是同阶的无穷小，由排除法知选D.
    15.【答案】D
    【解析】因
    f(-x)=(-x)sin(-x)ecos(-x)=xsinxecosx=f(x)，
    故f(x)为偶函数，应选D.

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