目录
    第一章 随机事件和概率
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            （一)选择题
            （二)填空题
            （三)解答题
        参考答案
    第二章 随机变量及其分布
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            （一)选择题
            （二)填空题
            （三)解答题
        参考答案
    第三章 多维随机变量及其分布
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            （一)选择题
            （二)填空题
            （三)解答题
        参考答案
    第四章 随机变量的数字特征
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            （一)选择题
            （二)填空题
            （三)解答题
        参考答案
    第五章 大数定律和中心极限定理
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            （一)选择题
            （二)填空题
            （三)解答题
        参考答案
    第六章 数理统计的基本概念
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            （一)选择题
            （二)填空题
            （三)解答题
        参考答案
    第七章 参数估计
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            （一)选择题
            （二)填空题
            （三)解答题
        参考答案
    第八章 假设检验
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            （一)选择题
            （二)填空题
            （三)解答题
        参考答案
    附录 近三年考研数学（一）真题及解析
        2015年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
        2015年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题参考答案及解析
        2014年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
        2014年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题参考答案及解析
        2013年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
        2013年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题参考答案及解析
 

文摘
 

第二章 随机变量及其分布

    一、考试内容及要求
    考试内容
    随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布
    考试要求
    1.理解随机变量的概念，理解分布函数F(x)=P{X≤x}(-∞＜x＜+∞)的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率.
    2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布B(n,p)、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布P(λ)及其应用.
    3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.
    4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布U(a，b)、正态分布N（μ，σ2）、指数分布及其应用，其中参数为λ（λ＞0）的指数分布E（λ）的概率密度为
    f（x）=λe-λx，若x＞0，
    0，若x≤0.
    5.会求随机变量函数的分布.
    二、专项训练
    1.(★★☆)设随机变量X在［0,1］上服从均匀分布，记事件A=0≤X≤12，B=14≤X≤34,则()
    （A）A与B互不相容.（B）B包含A.
    （C）A与B对立.（D）A与B相互独立.
    2.(★★☆)设随机变量X的密度函数为f(x)=Ae-x,x＞λ,
    0,x≤λ,(λ＞0),则概率P{λ＜X＜λ+a}（a>0）的值()
    （A）与a无关随λ的增大而增大.（B）与a无关随λ的增大而减小.
    （C）与λ无关随a的增大而增大.（D）与λ无关随a的增大而减小.
    3.(★☆☆)设随机变量X~N（0，1），其分布函数为Φ(x)，则随机变量Y=min{X，0}的分布函数为F（y）=()
    (A)F(y)=1,y＞0，
    Φ(y),y≤0.(B)F(y)=1,y≥0，
    Φ(y),y＜0.
    (C)F(y)=0,y≤0，
    Φ(y),y＞0.(D)F(y)=0,y＜0，
    Φ(y),y≥0.
    4.(★☆☆)设随机变量X的分布函数为F（x），其密度函数为
    f(x)=Ax(1-x),0≤x≤1;
    0,其他.
    其中A为常数，则F（12）的值为()
    (A)12.(B)13.
    (C)14.(D)15.
    5.(★☆☆)连续型随机变量X的分布函数F(x)=a+be-x,x≥0，
    0,x＜0.则其中的常数a和b为()
    (A)a=1,
    b=1.(B)a=1,
    b=-1.
    (C)a=-1,
    b=1.(D)a=0,
    b=1.
    6.(★☆☆)设随机变量X的概率密度为f(x)=e-x,x＞0,
    0，x≤0.则P{X≤2X≥1}的值为()
    （A）e2.（B）-e-2.
    （C）e-1.（D）1-e-1.
    7.(★★☆)假设F（x）是随机变量X的分布函数，则下列结论不正确的是()
    （A）如果F（a）=0，则对任意x≤a有F（x）=0.
    （B）如果F（a）=1，则对任意x≥a有F（x）=1.
    （C）如果F（a）=12，则P{X≤a}=12.
    （D）如果F（a）=12，则P{X≥a}=12.
    8.(★★☆)假设X为随机变量，则对任意实数a，概率P{X=a}=0的充分必要条件是()
    （A）X是离散型随机变量.（B）X不是离散型随机变量.
    （C）X的分布函数是连续函数.（D）X的概率密度是连续函数.
    9.(★★☆)假设X是只可能取两个值的离散型随机变量，Y是连续型随机变量，则随机变量X+Y的分布函数()
    （A）是连续函数.（B）是阶梯函数.
    （C）恰有一个间断点.（D）至少有两个间断点.
    10. (★★☆)假设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min{X，2}的分布函数()
    （A）是连续函数.（B）至少有两个间断点.
    （C）是阶梯函数.（D）恰好有一个间断点.
    11. (★★☆)设f（x）是连续型随机变量X的概率密度，则f（x）一定是()
    （A）可积函数.（B）单调函数.
    （C）连续函数.（D）可导函数.
    12. (★☆☆)设随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则随σ的增大，概率P{X-μ＜σ}应该()
    （A）单调增大.（B）单调减少.
    （C）保持不变.（D）增减不定.
    13. (★☆☆)设随机变量X服从正态分布N（μ，42），Y~N(μ,52)；记p1=P{X≤μ-4}，p2=P{Y≥μ+5}，则()
    （A）p1=p2.（B）p1>p2.
    （C）p1＜p2.（D）因μ未知，无法比较p1与p2的大小.
    14. (★★☆)设随机变量X的密度函数为fX（x），Y=-2X+3，则Y的密度函数为()
    （A）-12fX-y-32.（B）12fX-y-32.
    （C）-12fX-y+32.（D）12fX-y+32.
    15. (★☆☆)设F1（x）与F2（x）分别是随机变量X1与X2的分布函数，为使F（x）=aF1（x）-bF2（x）是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取()
    （A）a=35,b=-25.（B）a=23,b=23.
    （C）a=-12,b=32.（D）a=12,b=-32.
    名师讲解
    16. (★★★)已知X~N（15，4），若X的值落入区间（-∞，x1），（x1，x2），（x2，x3），（x3，x4）,(x4,+∞)内的概率之比为7∶24∶38∶24∶7，则x1，x2，x3，x4分别为()
    （A）12，13.5，16.5，18.（B）11.5，13.5，16.5，18.5.
    （C）12，14，16，18.（D）11，14，16，19.
    附：标准正态分布函数值Φ(1.5)=0.93,Φ(0.5)=0.69.
    17. (★★☆)设随机变量X~N(μ,σ2),σ＞0，其分布函数F（x）的曲线的拐点为（a，b），则（a，b）为()
    (A)(μ,σ).(B)(μ,12πσ).
    (C)(μ,12).(D)(0,σ).
    18. (★★☆)设随机变量X的密度函数为φ(x)，且φ(-x)=φ(x)，F（x）为X的分布函数，则对任意实数a，有()
    （A）F(-a)=1-∫a0φ(x)dx.
    （B）F(-a)=12-∫a0φ(x)dx.
    （C）F（-a）=F（a）.
    （D）F（-a）=2F（a）-1.
    19. (★★☆)设随机变量Xi的分布函数分别为Fi（x），i=1，2.假设：如果Xi为离散型，则Xi~B（1，pi），其中0＜pi＜1，i=1，2.如果Xi为连续型，则其概率密度函数为fi（x），i=1，2.已知成立F1（x）≤F2（x），则()
    （A）p1≤p2.（B）p1≥p2.
    （C）f1（x）≤f2（x）.（D）f1（x）≥f2（x）.
    20. (★☆☆)设随机变量X服从正态分布N（0，1），对给定的α∈（0，1），数uα满足P{X>uα}=α，若P{X＜x}=α，则x等于()
    （A）uα2.（B）u1-α2.
    （C）u1-α2.（D）u1-α.
    1.(★★☆)袋中有8个球，其中3个白球、5个黑球，现随意从中取出4个球，如果4个球中有2个白球、2个黑球，试验停止.否则将4个球放回袋中，重新抽取4个球，直到出现2个白球、2个黑球为止.用X表示抽取次数，则P（X=k）=(k=1,2,…).
    2.(★★☆)假设X服从参数λ的指数分布，对X作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于2的概率为78，则λ=.
    3.(★☆☆)已知X的概率密度f（x）=Ae-(x+12)2，aX+b~N（0，1）（a>0），则常数A=;a=;b=.
    4.(★☆☆)设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=X2在（0，4）内的概率分布密度fY（y）=.
    5.(★★☆)设随机变量X的概率分布P（X=k）=ak(k+1)，k=1，2，….其中a为常数，X的分布函数为F（x），已知F（b）=34，则b的取值应为.
    6.(★★☆)设X是服从参数为2的指数分布的随机变量，则随机变量Y=X-12的概率密度函数fY（y）=.
    名师讲解
    7.(★★★)已知随机变量X服从参数为λ的指数分布，
    Y=X,
    -X,当|X|≤1，
    当|X|>1.
    则P{X+Y=0}=；P{Y≤12}=.
    8.(★☆☆)已知随机变量X的概率分布为P{X=k}=13（k=1，2，3），当X=k时随机变量Y在（0，k）上服从均匀分布，即
    P{Y≤yX=k}=0,y≤0,
    yk,0<y<k，
    1,k≤y.
    则P{Y≤2.5}=.
    9.(★★☆)设随机变量X的密度函数f（x）=x,a<x<b,
    0,其他,（0<a<b），且EX2=2，则P{|X|<2}=.
    10. (★☆☆)设随机变量X服从参数为1的指数分布，随机变量函数Y=1-e-X的分布函数为FY（y），则FY（12）=.
    名师讲解
    11. (★★★)设随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），已知P{X≤2}=0.062，P{X≥9}=0.025，则概率P{|X|≤4}=.（Φ（1.54）=0.938，Φ（1.96）=0.975）
    名师讲解
    12. (★★★)随机变量X在-π2,π2上服从均匀分布，令Y=sinX，则随机变量Y的概率密度函数fY（y）=.
    13. (★★☆)已知随机变量Y服从［0，5］上的均匀分布，则关于x的一元二次方程4x2+4Yx+Y+2=0有实根的概率p=.
    14. (★☆☆)设X服从参数为λ的泊松分布，P{X=1}=P{X=2}，则概率P{0<X2<3}=.
    15. (★★☆)设随机变量X服从指数分布，E(X)=5，令Y=min{X，2}，则随机变量Y的分布函数F（y）=.
    16. (★☆☆)假设X是在区间（0，1）内取值的连续型随机变量，而Y=1-X.已知P{X≤0.29}=0.75，则满足P{Y≤k}=0.25的常数k=.
    17. (★★☆)若在区间（0，1）上随机地取两个数u，v，则关于x的一元二次方程x2-2vx+u=0有实根的概率为.
    18. (★★☆)设随机变量X~N（μ，σ2），且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为0.5，则μ=.
    19. (★☆☆)设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X>D(X)}=.
    20. (★☆☆)设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X=E(X2)}=.
    21. (★☆☆)设离散型随机变量X的概率函数为P｛X=i｝=pi+1,i=0,1,则p=.
    22. (★★☆)设离散型随机变量X的分布函数F(x)=0,x<-1,
    0.4,-1≤x<0,
    0.7,0≤x<1,
    1,x≥1,则随机变量X的分布函数为.
    23. (★★☆)设一次试验成功的概率为p，进行100次试验.当p=时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为.
    24. (★☆☆)设随机变量X服从正态分布N(μ,1),已知P{X≤3}=0.975，则P{X≤-0.92}=.
    25. (★☆☆)设F(x)是连续型随机变量X的分布函数，常数a>0,则∫+∞-∞［F(x+a)-F(x)］dx=.
    26. (★☆☆)设随机变量X的概率密度为f(x)=2x,0<x<1,
    0,其他. Y表示对X三次独立重复观察中事件X≤12出现的次数，则P（Y=2）=.
    27. (★★☆)若ae-x2+x为随机变量X的概率密度函数，则a=.
    28. (★★☆)设随机变量X的分布函数为
    F(x) =0,x<-1,
    18,x=-1,
    ax+b,-1<x<1,
    1,x≥1.
    已知P{-1<X<1}=58,则a=;b=;f(x)=.
    名师讲解
    29. (★★★)设随机变量X服从正态分布N(μ,22),已知3P{X≥1.5}=2P{X<1.5},则P{X-1≤2}=.
    名师讲解
    30. (★★★)设随机变量X的密度函数f(x)=Ax,1<x<2,
    B,2≤x<3,
    0,其他,且P{1<X<2}=P{2<X<3}，则常数A=；B=；概率P{2<X<4}=;分布函数F（x）=.

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