目录
    第一章  行列式
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            （一）选择题
            （二）填空题
            （三）解答题
        参考答案
    第二章  矩阵
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            （一）选择题
            （二）填空题
            （三）解答题
        参考答案
    第三章 向量
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            （一）选择题
            （二）填空题
            （三）解答题
        参考答案
    第四章 线性方程组
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            （一）选择题
            （二）填空题
            （三）解答题
        参考答案
    第五章 矩阵的特征值和特征向量
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            （一）选择题
            （二）填空题
            （三）解答题
        参考答案
    第六章 二次型
        一、考试内容及要求
        二、专项训练
            （一）选择题
            （二）填空题
            （三）解答题
        参考答案
    附录 近三年考研数学（三）真题及解析
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        2014年全国硕士研究生招生考试数学（三）试题
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        2013年全国硕士研究生招生考试数学（三）试题
        2013年全国硕士研究生招生考试数学（三）试题参考答案及解析
 

文摘
 

第五章 矩阵的特征值和特征向量

    一、考试内容及要求
    考试内容
    矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵
    考试要求
    1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法．
    2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．
    3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.
    二、专项训练
    1．（★★☆）设矩阵A＝12-2
    4-33
    2-11，那么矩阵A的三个特征值是（）
    （A）1，0，－2．（B）1，1，－3．
    （C）3，0，－2．（D）2，0，－3．
    2．（★☆☆）已知A是4阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A*的特征值是1，－1，2，4，那么不可逆矩阵是（）
    （A）A－E．（B）2A－E．
    （C）A＋2E．（D）A－4E．
    3．（★☆☆）已知A是n阶可逆矩阵，那么与A有相同特征值的矩阵是（）
    （A）AT．（B）A2．
    （C）A－1．（D）A-E．
    4．（★☆☆）已知α＝（1，－2，3）T是矩阵A＝32-1
    a-22
    3b-1 的特征向量，则（）
    （A）a＝－2，b＝6．（B）a＝2，b＝－6．
    （C）a＝2，b＝6．（D）a＝－2，b＝－6．
    5．（★☆☆）设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中
    （1）A2;       （2）P－1AP     ;
     （3）AT; （4）E-12A.
    α肯定是其特征向量的矩阵共有（）
    （A）1个．（B）2个．
    （C）3个．（D）4个．
    6．（★☆☆）设A是n阶矩阵，下列命题中正确的是（）
    （A）若α是AT的特征向量，那么α是A的特征向量．
    （B）若α是A*的特征向量，那么α是A的特征向量．
    （C）若α是A2的特征向量，那么α是A的特征向量．
    （D）若α是2A的特征向量，那么α是A的特征向量．
    7．（★☆☆）已知三阶矩阵A与三维非零列向量α，若向量组α，Aα，A2α线性无关，而A3α＝3Aα－2A2α，那么矩阵A属于特征值λ＝－3的特征向量是（）
    （A）α．      （B）Aα＋2α．
    （C）A2α－ Aα．（D）A2α＋2Aα－3α．
    8．（★★☆）设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，－2，相应的特征向量依次是α1，α2，α3，若P＝（α1，2α3，－α2），则P－1AP＝（）
    （A）1
    -2
    3．      （B）1
    -4
    -3.
    （C）1
    -2
    -3．（D）1
    3
    -2.
    9．（★★☆）已知P－1AP＝100
    050
    005，α1是矩阵A属于特征值λ＝1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ＝5的特征向量，那么矩阵P不能是（）
    （A）［α1，－α2，α3］．（B）［α1，α2＋α3，α2－2α3］．
    （C）［α1，α3，α2］．（D）［α1＋α2，α1－α2，α3］．
    10． （★☆☆）设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是（）
    （A）λ-1An.（B）λ-1A.
    （C）λA.（D）λAn.
    11． （★☆☆）已知A是三阶矩阵，r（A）＝1，则λ＝0（）
    （A）必是A的二重特征值．（B）至少是A的二重特征值．
    （C）至多是A的二重特征值．（D）一重、二重、三重特征值都有可能．
    12． （★☆☆）设λ＝2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵13A2-1有一特征值等于（）
    （A）43．   （B）34．  
    （C）12．   （D）14．
    13． （★☆☆）三阶矩阵A的特征值全为零，则必有（）
    （A）秩r（A）＝0．（B）秩r（A）＝1．
    （C）秩r（A）＝2．（D）条件不足，不能确定．
    14． （★☆☆）设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则（）
    （A）λE－A＝λE－B．
    （B）A与B有相同的特征值和特征向量．
    （C）A和B都相似于一个对角矩阵．
    （D）对任意常数t，tE－A与tE－B相似．
    15． （★★☆）n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的（）
    （A）充分必要条件．（B）必要而非充分条件．
    （C）充分而非必要条件．（D）既非充分也非必要条件．
    16． （★☆☆）设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵（P－1AP）T属于特征值λ的特征向量是（）
    （A）P－1α．   （B）PTα．  
    （C）Pα．   （D）（P－1）Tα．
    17． （★★☆）n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的（）
    （A）充分必要条件．（B）充分而非必要条件．
    （C）必要而非充分条件．（D）既非充分也非必要条件．
    18. （★★☆）n阶矩阵A和B具有相同的特征向量是A和B相似的（）
    （A）充分必要条件．（B）充分而非必要条件．
    （C）必要而非充分条件．（D）既非充分又非必要条件．
    19． （★★☆）设三阶矩阵A的特征值是０，1，－1，则下列命题中不正确的是（）
    （A）矩阵A－E是不可逆矩阵．
    （B）矩阵A＋E和对角矩阵相似．
    （C）矩阵A属于1与－1的特征向量相互正交．
    （D）方程组Ax＝0的基础解系由一个向量构成．
    20． （★☆☆）已知A是一个三阶实对称正定的矩阵，那么A的特征值可能是（）
    （A）3，i，－1．             （B）2，－1，3．
    （C）2，i，4．               （D）1，3，4．
    21． （★★☆）下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（）
    （A）10-1
    023
    -135．（B）100
    230
    -15-1．
    （C）10-1
    20-2
    -303．（D）123
    013
    00-1．
    22． （★★☆）设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A（α1+α2）线性无关的充分必要条件是（）
    （A）λ1≠0 ．  （B）λ2≠0．      
    （C）λ1=0．（D）λ2=0．
    1．（★☆☆）设3阶方阵A的特征值分别为－2,1,1，且B与A相似，则2B＝．
    2．（★☆☆）设3阶矩阵A的特征值分别为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则4A－1－E＝．
    3．（★☆☆）设3阶方阵A的特征值是1，2，3，它们所对应的特征向量依次为α1,α2,α3，令P=（3α3,α1,2α2），则Ｐ－１AP=．
    4．（★☆☆）已知A有一个特征值-2，则B=A2+2E必有一个特征值是．
    5．（★☆☆）设A是n阶矩阵，λ＝2是A的一个特征值，则2A2－3A＋5E必定有特征值．
    6．（★☆☆）设A是3阶矩阵，且各行元素的和都是5，则矩阵A一定有特征值．
    7．（★☆☆）已知A＝322
    232
    223，A*是A的伴随矩阵，那么A*的特征值是．
    8．（★☆☆）矩阵A=56-3
    -101
    12-1的三个特征值分别为．
    9．（★★☆）设A是3阶实对称矩阵，特征值分别为0，1，2，如果特征值0和1对应的特征向量分别为α1＝（1，2，1）T，α2＝（1，－1，1）T，则特征值2对应的特征向量是．
    10． （★★☆）设A为2阶矩阵,α1，α2为线性无关的2维列向量,Aα1＝0，Aα2＝2α1＋α2,则A的非零特征值为．
    11． （★☆☆）设n阶可逆矩阵A的一个特征值是－3，则矩阵13A2-1必有一个特征值为．
    12． （★☆☆）若3维列向量α，β满足αTβ＝2,其中αT为α的转置,则矩阵βαT的非零特征值为．
    13． （★★☆）设α＝（1，－1，a）T是A＝a22
    2-1-2
    2-2-1的伴随矩阵A*的特征向量，其中r（A*）＝3，则a＝．
    14． （★☆☆）已知矩阵A＝a1b
    234
    -11-1的特征值的和为3，特征值的乘积是－24，则b＝．
    15． （★★☆）设A＝0-22
    24-2
    a20有二重特征根，则a＝．
    16． （★☆☆）已知λ＝12是A＝74-1
    47-1
    -4-4a的特征值，则a＝．
    17． （★☆☆）设A是3阶矩阵，如果矩阵A的每行元素的和都是2，则矩阵A必定有特征向量．
    18． （★★☆）设α＝（1，－1，a）T，β＝（1，a，2）T，A＝E＋α βT，且λ＝3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ＝3的特征向量是．
    19． （★★☆）已知矩阵A＝312
    02a
    003和对角矩阵相似，则a＝．
    20． （★★☆）已知矩阵A＝121
    -2-3a
    00-1有两个线性无关的特征向量，则a＝．
    21． （★★☆）已知矩阵A＝1-1a
    135
    002只有一个线性无关的特征向量，那么A的三个特征值是．
    22． （★★☆）已知A＝001
    x10
    100有3个线性无关的特征向量，则x＝．

1.（★★☆）设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝λ3＝1，对应于λ1的特征向量为ξ1=0
    1
    1,求A.
    2.（★★☆）设矩阵A=a-1c
    5b3
    1-c0-a,其行列式A＝－1，又A的伴随矩阵A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α＝（－1，－1，1）T，求a，b，c和λ0的值.
    名师讲解
    3.（★★★）设矩阵A=322
    232
    223，P=010
    101
    001，B＝P-1A*P，求B＋2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.
    4.（★★☆）设3阶对称阵A的特征值为λ1＝6，λ2＝λ3＝3，与特征值λ1＝6对应的特征向量为ξ1=（1,1,1）T，求A.
    5.（★★☆）设3阶方阵A的特征值为λ1=2,λ2=-2,λ3=1；对应的特征向量依次为
    p1=0
    1
    1,p2=1
    1
    1,p3=1
    1
    0,
    求A.
    名师讲解
    6.（★★★）设3阶对称阵A的特征值为λ1=1,λ2=-1,λ3=0；对应λ1,λ2的特征向量依次为p1=1
    2
    2,p2=2
    1
    -2，求A.
    7.（★★☆）设 a=（a1,a2,…,an）T，a1≠0,A=aaT，
    （1）证明λ=0是A的n-1重特征值；
    （2）求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量.
    8.（★★☆）已知A=n1…1
    1n…1
    
    11…n是n阶矩阵，求A的特征值、特征向量,并求可逆矩阵P使P-1AP=Λ.
    名师讲解
    9.（★★★）设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1＝α1＋α2＋α3，Aα2＝2α2＋α3，Aα3＝2α2＋3α3.
    （1）求矩阵A的特征值；
    （2）求可逆矩阵P使得P-1AP=Λ.
    10. （★★☆）设矩阵A与B相似，且A=1-11
    24-2
    -3-3a,B=200
    020
    00b.求可逆矩阵P，使P-1AP＝B.
    11. （★★☆）设A=0-14
    -13a
    4a0，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵.若Q的第一列为16（1，2，1）T,求a,Q.
    12. （★★☆）已知A是3阶实对称矩阵，满足A4＋2A3＋A2＋2A＝O，且秩r（A）＝2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r（A＋E）.
    13. （★★☆）设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且
    Aα1＝α1-α2＋3α3，Aα2＝4α1-3α2＋5α3，Aα3＝0.
    求矩阵A的特征值和特征向量.
    名师讲解
    14. （★★★）设A是n阶矩阵，A＝E＋xyT，x与y都是n×1矩阵，且yTx＝2，求A的特征值、特征向量.
    15. （★★☆）设矩阵A=12-3
    -14-3
    1a5的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化.
    16. （★★☆）已知A=14-2
    0-10
    12-2，求可逆矩阵P，化A为标准形Λ，并写出对角矩阵Λ.
    17. （★★☆）已知矩阵A与B相似，其中A=14
    23,B=6a
    -1b.求a，b的值及矩阵P，使P-1AP＝B.
    18. （★★☆）已知A=122
    212
    221，A*是A的伴随矩阵，求A*的特征值与特征向量.
    19. （★★☆）已知A=-4-100
    130
    3x1可对角化，求可逆矩阵P及对角矩阵，使P-1AP=Λ.
    20. （★★☆）设矩阵A=211
    121
    11a可逆，向量α=1
    b
    1是矩阵A*的特征向量，其中A*是A的伴随矩阵，求a，b的值.
    21. （★★☆）设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1＝λ2＝6是A的二重特征值，若α1＝（1，1，0）T，α2＝（2，1，1）T，α3＝（-1，2，-3）T都是A属于λ＝6的特征向量，求矩阵A.
    22. （★☆☆）已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相应的特征向量且线性无关，如α1＋α2＋α3仍是A的特征向量，则λ1＝λ2＝λ3.
    23. （★★☆）已知非齐次线性方程组
    x1+x2+x3+x4=-1
    4x1+3x2+5x3-x4=-1
    ax1+x2+3x3+bx4=1
    有3个线性无关的解，
    （1）证明方程组系数矩阵A的秩r（A）=2;
    （2）求a,b的值及方程组的通解.
    名师讲解
    24. （★★★）设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=（1,-1,1）T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵.
    （1）验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量;
    （2）求矩阵B.
    25. （★★☆）A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且
    A11
    00
    -11=-11
    00
    11
    （1）求A的所有特征值与特征向量；
    （2）求矩阵A.
    26. （★★☆）设A为正交阵，且A=-1，证明λ=-1是A的特征值.
    27. （★★☆）已知3阶矩阵A的特征值为1,2,-3，求A*+3A+2E.
    28. （★★☆）已知p=1
    1
    -1是矩阵A=2-12
    5a3
    -1b-2的一个特征向量.
    （1）求参数a,b及特征向量p所对应的特征值；
    （2）问A能相似对角化,并说明理由.
    29. （★☆☆）设A2－3A+2E=O，证明:A的特征值只能取1或2．

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