主编简介
    华图教育，创办于2001年9月16日，是集面授培训、图书发行、网络教学于一体，拥有专兼职教师及专业研究员三千多人的综合性教育集团，是国内公认的公职培训行业标准制定者和教育培训标杆企业，是国务院机关事务局后勤干部培训中心、中国社会科学院、教育科学出版社等部门的合作单位。
 目录
    第一章  数量关系真题精选1
        解题方法1
        代入排除1
        整除特性4
        枚举归纳法8
        十字交叉法9
        题型一  初等数学模块11
            基础计算11
            定义运算及创新运算20
            约数倍数问题23
            余数问题26
        题型二  基础应用题28
            等式类应用题28
            不定方程类49
            不等式类55
        题型三  数列与平均数58
            等差数列58
            等比数列60
            其他数列62
            平均数63
        题型四  工程问题66
            赋值工作总量66
            赋值工作效率70
            方程法72
        题型五  溶液问题74
            基本计算74
            溶液混合76
        题型六  费用问题78
            利润折扣类78
            促销优化类86
            分段计费类88
        题型七  行程问题90
            基础行程问题90
            相遇追及问题96
            流水行船问题104
            变速间歇运动106
        题型八  最值问题108
            最不利构造108
            多集合反向构造110
            构造设定类112
        题型九  排列组合119
            分类分步型119
            捆绑插空型125
            路线方案类127
        题型十  概率问题129
            基础计算129
            条件概率136
        题型十一  容斥问题137
            两集合容斥137
            三集合容斥140
            结合最值的容斥143
        题型十二  几何问题144
            几何计算144
            几何计数157
            几何构造159
            几何边端165
        题型十三  趣味杂题168
            年龄问题168
            牛吃草问题171
            钟表问题174
            日期及循环周期问题175
            比赛问题177
            过河爬井问题180
            空瓶换酒问题180
            页码问题181
            统筹推断类182
        题型十四  函数相关192
            函数曲线类192
            函数极值求导类194
            数列极限类194
    第二章  数量关系套题演练195
        2015年4月多省（区、市）公务员录用考试《行政职业能力测验》数量关系题目195
        2015年北京市公务员录用考试《行政职业能力测验》数量关系题目199
        2015年河北省公务员录用考试《行政职业能力测验》数量关系题目203
    第三章  数字推理真题精选207
        题型一  基本数列207
            等差等比207
            质数合数208
            周期对称209
        题型二  多级数列209
            多级差数列209
            多级和数列214
            多级积商数列216
        题型三  幂次数列219
            基本幂次219
            幂次修正219
            底指同变222
        题型四  组合拆分数列223
            交叉数列223
            分组数列225
            机械拆分225
            数位组合228
        题型五  递推数列228
            和差递推型228
            积商递推型230
            倍数递推型232
            和差倍递推型234
            方递推型235
        题型六  非整数数列236
            分数数列236
            小数数列242
            根式数列242
        题型七  数图推理243
            饼状图数列243
            九宫格数列245
            三角形数列247
            其他图形数列249
    第四章  数字推理套题练习251
        2015年河北省公务员录用考试《行政职业能力测验》数字推理题目251
        2015年广东省公务员录用考试《行政职业能力测验》数字推理题目252
        2015年吉林省公务员录用考试《行政职业能力测验》乙级数字推理题目253
        2015年天津市公务员录用考试《行政职业能力测验》数字推理题目255
 

文摘

数量关系真题分类精讲1000题
第一章数量关系真题精选

    解题方法
    代入排除
    代入排除适合的题目：
    （1）答案容易代入题干验证的题目；
    （2）找不到思路或困难的题目。
    （2013·联考上·47） 孙儿孙女的平均年龄是10岁，孙儿年龄的平方减去孙女年龄的平方所得的数值，正好是爷爷出生年份的后两位，爷爷生于上个世纪40年代。问孙儿孙女的年龄差是多少岁？（）
    A. 2B. 4C. 6D. 8
    【答案】   A
    【解析】 本题如果直接求解，至少要设三个未知数，非常繁琐，考虑使用代入排除。代入A项，若相差2岁，由平均年龄可知孙儿孙女分别为9岁和11岁，11×11－9×9＝40，满足题意，直接选择A。
    【小杨点睛】 涉及年龄、次数、人数等整数问题，答案给出数值，直接代入比较容易。
    （2015·国家·65）甲、乙、丙、丁四个人分别住在宾馆1211、1213、1215、1217和1219这五间相邻的客房中的四间里，而另外一间客房空着。已知甲和乙两人的客房中间隔了其他两间客房，乙和丙的客房号之和是四个人里任意二人的房号和中最大的，丁的客房与甲相邻且不与乙、丙相邻。则以下哪间客房可能是空着的？()
    A. 1213B. 1211C. 1219D. 1217
    【答案】  D
    【解析】 本题属于构造推断类题目，直接下手不易，那么代入排除验证即可。本题可画表格直观代入。在表格里本题的条件转化为：甲、乙中间空两列，乙、丙位置靠右，再选丁的位置即可。
    12111213121512171219A选项甲×丁（矛盾）乙B选项×甲丁（矛盾）丙乙C选项甲丁丙（矛盾）乙×D选项丁甲丙×乙注意：1215客房空着也可以满足题目要求，但不在选项中，所以不考虑。
    【小杨点睛】 构造类题目较难，但很多都可代入排除，省时省力。
    （2014·上海A·68）某工厂某种产品每月的产能为8000个，1月的销量为5000个，且预计每月销量环比增加10%，则当年该产品库存最高的月份是()。
    A. 4月B. 5月C. 6月D. 7月
    【答案】  B
    【解析】 设第n月的库存量为y，则y=8000n-∑n→12［5000×(1+10%）n-1］，涉及幂次，直接求y的最大值有点困难。此时我们可以考虑代入排除。
    依据常识可知，当产量大于销量时库存增加，当销量大于产量时库存减少，因此库存最高的月份5000（1+10%）n-1最接近8000，即求1.1n-1≤1.6时，n的最大值。代入D项：1.17-1＞1+6×0.1=1.6（二项式展开）；C项：1.16-1=1.21×1.21×1.1>1.6；B项：1.15-1＜1.6；故选B。
    【小杨点睛】 题目中给出“最高”“最少”等求极值的字眼时，应该考虑答案大小来确定代入排除的次序。
    （2014·天津·11）在一堆桃子旁边住着5只猴子。深夜，第一只猴子起来偷吃了一个，剩下的正好平均分成5份，它藏起自己的一份，然后去睡觉。过了一会儿，第二只猴子起来也偷吃了一个，剩下的也正好平均分成5份，它也藏起自己的一份，然后去睡觉。第三、四、五只猴子也都依次这样做。问那堆桃子最少有多少个？()
    A. 4520B. 3842C. 3121D. 2101
    【答案】  C
    【解析】 答案信息比较充分，可以代入排除。代入的时候分析题干，桃子个数减去1个能被5整除，直接排除A、B两个选项；题目设问“最少”有多少个，利用最值代入原则，从最小的选项D开始代入，2101-1=2100，第一个猴子藏起自己的一份后有2100×45=1680；1680-1=1679不能再被5整除，D项错误，排除。只剩下C选项，无须代入，直接选择。
    【小杨点睛】 一般情况下，代入排除结合整除特性，会起到事半功倍的效果。
    举一反三
    请用代入排除法解答以下题目。比较一下，如果不用代入排除，应该怎么解答？
    1.一个三位数，其百位数是个位数的2倍，十位数等于百位数和个位数之和，那么这个三位数是多少？()
    A. 211B. 432C. 693D. 824
    2.小华4年后年龄与小丽4年前的年龄相等，3年后，她们两人的年龄和等于她们今年年龄差的3倍，小华和小丽今年的年龄分别是多少岁？()
    A. 10，18B. 4，12C. 5，13D. 6，14
    3.某数加上10，乘以10，减去10，除以10，其结果等于10，则这个数是()。
    A. 1B. 10C. 11D. 9
    4.某个三位数的数值是其各位数字之和的23倍，这个三位数为()。
    A. 702B. 306C. 207D. 203
    5.某单位组织员工去旅游，要求每辆汽车坐的人数相同，如果每辆车坐20人，还剩下2名员工；如果减少一辆汽车，员工正好可以平均分到每辆汽车。问该单位共有多少名员工？()
    A. 244B. 242C. 220D. 224
    6.一批武警战士平均分成若干小组值勤。如果每4人一组，恰好余1人；如果每5人一组，恰好也余1人；如果每6人一组，恰好还是余1人。这批武警战士至少有()人。
    A. 121B. 101C. 81D. 61
    7.甲、乙、丙、丁四个数的和为43，甲数的2倍加8，乙数的3倍，丙数的4倍，丁数的5倍减去4，都相等。问这四个数各是多少？()
    A. 14，12，8，9B. 16，12，9，6C. 11，10，8，14D. 14，12，9，8
    8.装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒能装11个，小盒每盒能装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？()
    A. 3，7B. 4，6C. 5，4D. 6，3
    9.已知从甲地到乙地通话m分钟的电话费由函数f(m)＝1.06×(0.50×{m}＋1)给出，其中m>0，{m}是不小于m的最小整数。如果某人IC电话磁卡上只有5元，则此人可以用该磁卡通话的时间最多为()分钟。
    A. 6.5B. 6C. 7.5D. 7
    1.C【解析】 直接代入选项进行验证，百位数是个位数的2倍，四个选项都符合；十位数等于百位数和个位数之和，只有C项符合。因此，本题答案为C选项。
    【点拨】 多位数问题，代入排除。
    2.C【解析】 方法一：可直接代入检验，由条件知两人的年龄差为8，所以两人今年的年龄和再加6等于24，经检验只有C项符合题意。
    方法二：设小华和小丽今年的年龄分别为x、y岁。则x＋4＝y－4；(x＋3)＋(y＋3)＝(y－x)×3，解得x＝5，y＝13。因此，本题答案为C选项。
    3.A【解析】 某数加上10，乘以10，减去10，除以10，其结果等于10，那么这个数是(10×10＋10)÷10－10＝1。但实际上，如果直接代入选项，［(1＋10)×10－10］÷10＝10，可以得出A项符合。因此，本题答案为A选项。
    【点拨】 答案信息完全，代入排除。
    4.C【解析】 依据题意，将四个选项逐一代入，发现只有207满足题意。因此，本题答案为C选项。
    【点拨】 结合选项发现，A、B、C三项的各位数字之和都是9，9×23＝207。
    5.B【解析】 本题考查和差倍比问题。如果减少一辆车，则要剩余(20＋2)人，这22人可平均分配到各车，可知现在车的数量为11或22，则原来车的数量为12或23，结合选项，如果是23辆车则没有答案，故原来车的数量是12，可知总人数为12×20＋2＝242(人)。因此，本题答案选B选项。
    【点拨】 代入排除，总人数末位数只能是2。
    6.D【解析】 方法一：本题属于余数问题，对于余数问题，我们优先采用代入排除法。题目要求的是武警战士人数最少是多少，我们可以从最小的数开始代入，符合题意即为正确选项。代入D项61，61减去1之后是4、5、6的倍数，符合题意。因此，本题答案选D选项。
    方法二：本题属于余数问题中的同余问题。武警战士人数为4、5、6的最小公倍数的整数倍再加上1，即60n＋1。最少为60×1＋1＝61(人)。因此，本题答案选D选项。
    【点拨】 代入排除，“总人数－1”能同时被4、5、6整除。
    7.D【解析】 代入排除。由乙数的3倍等于丙数的4倍可排除A、C两项，又由甲数的2倍加8等于乙数的3倍可排除B项，所以只有D项满足条件。因此，本题答案为D选项。
    【点拨】 答案信息完全，考虑代入排除。
    8.A【解析】 假设需要大盒子x个，小盒子y个，列方程得：11x＋8y＝89，为不定方程，代入选项只有3、7满足方程。因此，本题答案为A选项。
    【点拨】 不定方程，直接代入。
    9.D【解析】 此题宜用代入法验证，从最长的时间开始。C项，m＝7.5，而“{m}是不小于m的最小整数”，即{m}＝8，代入公式f(m)＝1.06×(0.50×8＋1)＝5.3＞5，排除C项。如此依次验证可知D项符合要求。
    整除特性
    有整除特性特征的题目：
    （1）题干出现分数、百分数、比例、倍数等；
    （2）出现或包含2（偶数）、3、5几个常见小质数。
    （2012·深圳·11）某单位举办排球比赛，选男员工的111和12名女员工，剩余男员工是剩余女员工的2倍，总员工人数是156人，问：男员工有多少人？()
    A. 100B. 99C. 111D. 121
    【答案】  B
    【解析】 出现分数，可以考虑整除：选出男员工的111，可知男员工的数量为11的倍数，首先排除A、C两项，将B项代入，得知选出的男员工为9人，剩余90人(剩余男员工数量)。又女员工数量为：156－99＝57(人)，选出12人，剩余45人(剩余女员工数量)，90÷45＝2，即剩余男员工是剩余女员工的2倍，正好满足题意，直接锁定答案B。
    【小杨点睛】 “整除特性”实际上是通过限制条件快速排除答案，是一种特定的代入排除。
    （2015·天津·12）某汽车坐垫加工厂生产一种汽车坐垫，每套的成本是144元，售价是200元。一个经销商订购了120套这种汽车坐垫，并提出：如果每套坐垫的售价每降低2元，就多订购6套。按经销商的要求，该加工厂获得最大利润需售出的套数是()。
    A. 144B. 136C. 128D. 142
    【答案】  A
    【解析】 本题涉及二次函数，没有选项的思路是：设工厂销售套数是x套，由题意利润y=x［(200-144)-x-1206×2］=-x23+96x。对该函数求导有dy=-23x+96，当dy=0时y取最大值，即x=144时能够获得最大利润。
    但考虑答案选项，容易发现只有144能被3整除，考虑整除特性。套数120+6n始终是3的倍数，只有A项满足能被3整除这一条件。故正确答案为A选项。
    【小杨点睛】 3是公考中整除特性用得最多的数字，因此应该对3的倍数产生敏感：每位上所有数字之和加起来能被3整除的数字是3的倍数。公考中常见的有96、120、144、225等。
    （2012·广州·71）已知33×34＝1122，333333×333334＝111111222222，那么33333×33334＝()。
    A. 111122222B. 111112222C. 11112222D. 1111122222
    【答案】  D
    【解析】 所求算式中含因子3，则所得结果必能被3整除，排除A、B两项；对比C、D两项，C项结果的位数明显偏少，排除。
    事实上，33333能被11111整除，所以直接排除A、B、C三项。
    【小杨点睛】 在形如A=B×C形式的式子里，B能被一个数整除，A也能被这个数整除。
    举一反三
    以下题目，是否容易看出整除规律？能否通过整除条件快速代入排除？
    1.哥哥和弟弟各有若干本书，如果哥哥给弟弟4本，两人书一样多，如果弟弟给哥哥2本，哥哥的书是弟弟的4倍，哥哥和弟弟一共有()本书。
    A. 20B. 9C. 17D. 28
    2.小张和小王一起卖水果，小张卖的水果个数是小王的4倍，如果小张的水果分出一半给小王，小王就比小张多24个，问小张和小王共有多少个水果？()
    A. 24B. 96C. 120D. 144
    3.某店一共进货6桶油，分别为15、16、18、19、20、31千克，上午卖2桶，下午卖3桶，下午卖的重量正好是上午的2倍，剩下的一桶油重几千克？()
    A. 15B. 16C. 18D. 20
    4.在一袋螺钉螺母中，螺钉和螺母的数量比是3∶10。如果1个螺钉配3个螺母，最后一个螺钉配2个螺母，螺钉用完后能余下15个螺母。问袋中原来有螺母多少个？()
    A. 120B. 130C. 140D. 150
    5.小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是()。
    A. 1元B. 2元C. 3元D. 4元
    6.某洗车店洗车分外部清洁和内部清洁，两道工序时间均不少于30分钟，而且同一辆车两道工序不能同时进行，洗车间同一时间只能容下2辆车。现有9辆车需要清洗，汽车进出洗车间的时间可忽略不计，则洗完9辆车至少需要的时间为()。
    A. 330分钟B. 300分钟C. 270分钟D. 250分钟
    1.A【解析】 由“如果弟弟给哥哥2本，哥哥的书是弟弟的4倍”可知，总数一定是5的倍数，排除B、C、D三项。因此，本题正确答案为A。
    【点拨】 “哥哥的书是弟弟的4倍”，所以书的总数是5的倍数。
    2.C【解析】 小张卖的水果个数是小王的4倍，两人合计卖的水果个数就是小王的5倍，即水果总个数是5的倍数。答案中只有C项能够被5整除。
    3.D【解析】 由“下午卖的重量正好是上午的2倍”可得，上午和下午共同卖的5桶油的总重量应为上午卖出重量的3倍。6桶油的总重量为15＋16＋18＋19＋20＋31＝119(千克)，只有去掉20以后剩余5个数的和才能被3整除。因此，本题答案为D选项。
    4.C【解析】 出现“3”，考虑是否可用整除特性。由题意得，（螺母总数-15-2）是3的倍数，选项中只有C选项140-17=123是3的倍数。故选C。
    5.C【解析】 因为所有的硬币可以围成一个正三角形，所以硬币的总数必然是3的倍数，那么硬币的总价值也应该是3的倍数。因此，本题答案为C选项。
    【点拨】 硬币总数是3的倍数，总价值也是3的倍数。
    6.C【解析】 本题可以利用整除特性求解。共有9辆车需清洗，则答案应该是9的倍数，四个选项只有C项可以被9整除。故选C。
    融会贯通
    1.（2009·国家·109）甲、乙两人共有260本书，其中甲的书有13%是专业书，乙的书有12.5%是专业书，问甲有多少本非专业书？()
    A. 75B. 87C. 174D. 67
    2.（2013·联考下·69）现有3个箱子，依次放入1、2、3个球，然后将3个箱子随机编号为甲、乙、丙，接着在甲、乙、丙3个箱子里分别放入其箱内球数的2、3、4倍。两次共放了22个球。最终甲箱中的球比乙箱()。
    A. 多1个B. 少1个C. 多2个D. 少2个
    3.（2014·上海A·67）一艘海军的训练船上共有60人，其中有驾驶员、船员、见习驾驶员、见习船员，还有一些陆战队员。已知见习人员的总人数是驾驶员和船员总人数的四分之一，船员(含见习船员)总人数是驾驶员(含见习驾驶员)总人数的7倍，则船上有()个陆战队员。
    A. 12B. 15C. 20D. 25
    4.（2014·上海A·74）为帮助果农解决销路，某企业年底买了一批水果，平均发给每部门若干筐之后还多了12筐，如果再买进8筐则每个部门可分得10筐，则这批水果共有()筐。
    A. 192B. 198C. 200D. 212
    5.（2014·天津·14）有一支参加阅兵的队伍正在进行训练，这支队伍的人数是5的倍数且不少于1000人，如果按每横排4人编队，最后少3人；如果按每横排3人编队，最后少2人；如果按每横排2人编队，最后少1人。请问，这支队伍最少有多少人？()
    A. 1045B. 1125C. 1235D. 1345
    1.B【解析】 代入排除法。由“甲的书有13%是专业书”可知，甲的书有87%是非专业书，所以甲的非专业书是87的倍数，排除A、D两项。若甲有非专业书87本，则乙有书260－100＝160(本)，其中专业书20本，非专业书140本，符合题意，选B。
    如果有时间可检验C项：若甲有非专业书174本，则甲有200本书，乙有60本书，则乙有专业书60÷8＝7.5(本)，非整数，舍去。
    2.A【解析】 由题知，甲、乙、丙3个箱子里最终的球数为原球数的3、4、5倍，而原来的球数是1或2或3，由于总球数22为偶数，故1个球和3个球所在的两个箱子最终的球数仍为奇数，一种情况为1×3＋2×4＋3×5＝26(个)，不符合题意；另一种情况为1×5＋2×4＋3×3＝22(个)，符合题意。故最终甲箱为9个，乙箱为8个，甲箱中的球比乙箱多1个。选A。
    3.C【解析】 见习人员人数是驾驶员和船员人数的14，说明这四种人的总数必须是5的倍数，同理船员人数是驾驶员人数的7倍，说明这四种人的总数必须是8的倍数，据此要求，训练船上的总人数减去陆战队员人数所得的数应能同时被5和8整除，验证知只有C项正确。
    4.A【解析】 总数加8应能被10整除，排除B、C项。将A项代入，则部门数为20；将D项代入，部门数为22，则212÷22＝9……14，不符合题意。故选择A。
    5.A【解析】 每行排4人，最后少3人，说明总人数加3能被4整除，排除C项；每行排3人，最后少2人，说明总人数加2能被3整除，排除B项；每行排2人，最后少1人，说明总人数加1能被2整除，A、D两项都满足，而题目要求是这支队伍最少有多少人，故选A。
    枚举归纳法
    枚举归纳在数学中是一种非常重要的思想，在数量关系中也是一种比较基础的方法。
    枚举是将所有需要情况逐个列举。这种方法有时看上去繁琐，但却是找不到解题思路时的最直观思维。
    归纳在数量关系中往往可以从最初枚举出第一步、第二步、第三步，然后探索、猜测规律，再通过下一步验证，如果未遇反例，就基本可以确定规律。
    常用题型：日期推断、规律探索、几何计数等。
    【例1】  整数64具有可被它的个位数字整除的性质。试问在10和50之间有多少个整数具有这种性质？()
    A. 15B. 16C. 17D. 18
    【答案】  C
    【解析】 枚举法。个位是1、2、5的数都能被其个位数字整除，共3×4＝12个；个位是3的只有33；个位是4的有24和44；个位是6的只有36；个位是7的没有；个位是8的只有48；个位是9的没有。故在10和50之间共有17个整数具有这种性质。故本题答案为C。
    【例2】  小张每连续工作5天后休息3天，小周每连续工作7天后休息5天。假如3月1日两人都休息，3月2日两人都上班，问三月份有多少天两人都得上班？()
    A. 12B. 14C. 16D. 18
    【答案】  B
    【解析】 枚举法。从3月2日开始，上班用“×”表示，休息用“○”表示，则有：
    小张：×××××○○○×××××○○○×××××○○○×××××○
    小周：×××××××○○○○○×××××××○○○○○××××××
    易知，小张和小周都上班即同时为“×”的共有14天。故本题答案为B。
    【例3】  根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份有22个工作日，那么当年的8月1日可能是()。
    A. 周一或周三B. 周三或周日C. 周一或周四D. 周四或周日
    【答案】  D
    【解析】 枚举法，最直接的做法：简单画日历。画好周一、二、三、四、五、六、日，把日期往里代。代入周一，不符合题意，排除选项A、C；同理代入周三，不符合题意，排除选项B。故本题答案为D。
    一二三四五六日178141521222829【例4】  用直线切割一个有限平面，后一条直线与此前每条直线都要产生新的交点，第1条直线将平面分成2块，第2条直线将平面分成4块，第3条直线将平面分成7块，按此规律，将平面分为22块需()。
    A. 7条直线B. 8条直线C. 9条直线D. 6条直线
    【答案】  D
    【解析】 枚举归纳。枚举前4条直线，规律如下：
    直线数0123456分割平面块数124711…？看规律，猜测第二行是一个二级等差数列，那么下几项是16、22…结合题意可知，猜测正确。故本题答案为D。
    十字交叉法
    十字交叉法是数学运算题中一种经典的技巧。这种方法实际上是一种简化方程的形式，凡是符合下图左边方程的形式，都可以用右边“十字交叉”的形式来简化：
    Aa+Bb=(A+B)rAB=r－ba－rrA:aB:br-ba-r r-ba-r=AB
    【例1】  某超市购进西瓜1000个，运输途中碰裂一些，未碰裂的西瓜卖完后，利润率为40%，碰裂的西瓜只能降价出售，亏本60%，最后结算时总的利润率为32%，问碰裂了多少西瓜？（）
    A. 80B. 75C. 85D. 78
    【答案】  A
    【解析】 十字交叉法：
    32%未裂 40%碰裂-60%92%8%92%8%=92080，总和为1000个，那么碰裂了80个。
    【例2】  一只松鼠采松子，晴天每天采24个，雨天每天采16个，它一连几天共采168个松子，平均每天采21个，这几天当中晴天有几天？（）
    A. 3B. 4C. 5D. 6
    【答案】  C
    【解析】 十字交叉法：
    21晴天24雨天1653晴天雨天=53，晴天是5的倍数。
    【例3】  某单位共有A、B、C三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁、24岁、42岁。A和B两部门人员平均年龄为30岁，B和C两部门人员平均年龄为34岁。该单位全体人员的平均年龄为多少岁？（）
    A. 34B. 36C. 35D. 37
    【答案】  C
    【解析】 对A、B部门运用“十字交叉法”得其人数比例为3∶4，对B、C部门运用“十字交叉法”得其人数比例为4∶5。根据比例赋值A、B、C部门分别有3、4、5人。那么平均年龄=（38×3+24×4+42×5）÷（3+4+5）=35。故选C。
    【例4】  某公司2011年前三季度营业收入7650万元，比上年同期增长2%，其中主营业务收入比上年同期减少2%，而其他业务收入比上年同期增加10%，那么，该公司2011年前三季度主营业务收入为多少？（）
    A. 3920万元B. 4410万元C. 4900万元D. 5490万元
    【答案】  C
    【解析】 设2010年前三季度主营业务收入为x，运用十字交叉法：
    2%主营业务收入-2%其他业务收入 10%-8%-4%-8%-4%=2
    则x=76501+2%×23=5000，所以2011年前三季度主营业务收入为5000×98%=4900（万元）。
    【小杨点睛】 注意：涉及增长率、折扣的十字交叉法，求得的是基期、折前的量。
    【例5】  小张去机票代理处为单位团购机票10张，商务舱定价1200元/张，经济舱定价700元/张。由于买的数量较多，代理商就给予优惠，商务舱按定价的9折付钱，经济舱按定价的6折付钱，如果他付的钱比按定价少31%，那么小张一共买了经济舱票的票数是（）。
    A. 7张B. 6张C. 9张D. 8张
    【答案】  D
    【解析】 9折即定价的90%；6折即定价的60%；比定价少31%即定价的69%。注意运用十字交叉法得出的两者之比是折扣前的钱数之比而非票的张数之比。
    69%商务舱折前总价90%经济舱折前总价60%9%21%9%21%=37
    而两者单张价格比是12∶7，所以两者张数之比是37÷127=1∶4，总数为10张，那么经济舱是8张。
    题型一初等数学模块
    基础计算
    （一）整数类计算
    整数计算常用定律及公式：
    （1）运算定律：
    加、减法运算定律交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)a－b－c＝a－(b＋c)乘、除法运算定律交换律ab＝ba结合律(ab)c＝a(bc)分配律(a＋b)c＝ac＋bca÷b÷c＝a÷(b×c)(b≠0，c≠0)（2）平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)
    （3）完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2
    常用技巧：尾数法、整体代换。
    乘方尾数口诀：底数留个位，指数除以4留余数(余数为0换成4)。
    （2014·深圳·46）1995+1996+1997+1998+1999+2000的值为()。
    A. 12987B. 12985C. 11988D. 11985
    【答案】  D
    【解析】 方法一：不考虑等差数列的话，可用运算定律直接计算，原式=2000×6-1-2-3-4-5=11985。
    方法二：等差数列六项的和=（1995+2000）×3=11985。故本题答案选D。
    （2011·浙江·46）2011×201＋201100－201.1×2910的值为()。
    A. 20110B. 21010C. 21100D. 21110
    【答案】  A
    【解析】 原式＝2011×201＋2011×100－2011×291＝2011×(201＋100－291)＝2011×10＝20110。
    （2011·安徽·1）计算：20＋19－18－17＋16＋15－14－13＋12＋11-…＋4＋3－2－1＝()。
    A. 10B. 15C. 19D. 20
    【答案】  D
    【解析】 根据交换律和结合律，原式可分组为：20＋(19－18－17＋16)＋(15－14－13＋12)＋(11－10－9＋8)＋(7－6－5＋4)＋3－2－1，括号内的数字运算后为0，所以原式＝20＋3－2－1＝20。答案为D选项。
    （2013·河北·41）1005×10061006－1006×10051005＝()。
    A. 0B. 100C. 1000D. 10000
    【答案】  A
    【解析】 1005×10061006-1006×10051005=1005×1006×10001-1006×1005×10001＝0。正确答案为A。
    （2010·安徽·6）2009×20082008－2008×20092009＝()。
    A. 0B. 1C. 2D. 3
    【答案】  A
    【解析】 原式＝2009×(20080000＋2008)－2008×(20090000＋2009)＝0。
    本题也可采用尾数法计算：2009×20082008的尾数为2，2008×20092009的尾数也为2，所以差的尾数一定为0，只有A项符合。故选A。
    （2014·新疆·56）（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）=()。
    A. 215-1B. 215C. 216-1D. 216
    【答案】  C
    【解析】 方法一：添加因式利用平方差公式求解。原式＝（2-1）×（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）=（22-1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）＝（24-1）×（24+1）×（28+1）=（28-1）×（28+1）=216-1。故选C。
    方法二：原式是4个奇数相乘，由奇偶特性可得，结果必为奇数，故排除B、D两项。由于（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）＞2×22×24×28=215，排除A项。故选C。
    （2014·北京·71）已知13＋23＋33+…＋n3＝(1＋2＋3+…＋n)2，则13＋33＋53+…＋193＝()。
    A. 19500B. 19900C. 20300D. 22500
    【答案】  B
    【解析】 13＋33＋53＋…＋193＝13＋23＋33＋43＋53＋…＋193－(23＋43＋…＋183)＝(1＋2＋3＋…＋19)2－23×(13＋23＋33＋…＋93)＝19×（19+1）22-23×(1＋2＋3＋…＋9)2＝19900。故选B。
    举一反三
    练习以下尾数类计算：
    1.12＋22＋32＋…＋1234567892的个位数是()。
    A. 3B. 4C. 5D. 6
    2.计算110.12＋1210.32＋1220.42＋1260.82的值为()。
    A. 4555940.8B. 4555940.9C. 4555941.18D. 4555940.29
    3.2012的2012次方的末位数是()。
    A. 2B. 4C. 6D. 8
    4.2013×2013×……×20132013个2013×2014×2014×……×20142014个2014的个位数是()。
    A. 8B. 6C. 4D. 2
    5.32010＋42011＋82012的个位数为()。
    A. 9B. 8C. 6D. 4
    1.C【解析】 本题采用尾数法。原式中12＋22＋32＋…＋102＝1＋4＋9＋…＋100，算得尾数为5，由此可以推知原式所算出结果的个位数应为5的倍数，即5或者0。选项中只有C选项满足，故正确答案为C。
    2.B【解析】 利用尾数法，*.12＋*.32＋*.42＋*.82＝*.01＋*.09＋*.16＋*.64＝*.90。故本题应选B。
    3.C【解析】 本题属于乘方位数问题。底数末位的数字为2，指数2012能被4整除，所以只要算24的末位数即可，由此可知末位数为6，本题答案为C。
    4.A【解析】 原式可写为20132013×20142014，2013的n次方的尾数以3、9、7、1为周期循环，2013除以周期数4，余数为1，因此20132013尾数为周期的第一项3。2014的n次方的尾数以4、6为周期循环，指数2014除以周期数2，余数为0，因此20142014尾数为周期的最后一项6。两者相乘，即3×6=18，尾数为8。因此，本题答案为A选项。
    5.A【解析】 本题考查乘方尾数问题。一个自然数幂的尾数是以4为周期循环的，则原式的尾数相当于32＋43＋84的尾数，即9＋4＋6的尾数，故正确答案是A项。
    （二）多位数问题
    多数问题是针对一个数及其个位、十位、百位等位置上的数字，以及小数点后一位、两位、三位等位置上的数字的一类数学问题。
    1.多位数表示
    多位数表示类问题直接求该多位数，直接求解往往比较困难，可以用代入排除快速解决。
    （2009·江西·45）某次考试中，小林的准考证号码是个三位数，个位数字是十位数字的2倍，十位数字是百位数字的4倍，三个数字的和是13，则准考证号码是()。
    A. 148B. 418C. 841D. 814
    【答案】  A
    【解析】 直接代入，由“个位数字是十位数字的2倍”排除B、C、D三项，选A。
    （2012·江西·47）将一个三位数的个位数字和百位数字调换后所得的三位数与原三位数的和是1070，差是198，这个三位数是()。
    A. 218B. 327C. 436D. 524
    【答案】  C
    【解析】 直接代入排除，C项，436＋634＝1070，634－436＝198，满足条件，答案选C。
    ★★（2011·浙江·57）一个三位数的各位数字之和是16。其中十位数字比个位数字小3。如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大495，则原来的三位数是多少？()
    A. 169B. 358C. 469D. 736
    【答案】  B
    【解析】 直接代入：各位数字之和为16，C项各数字相加和为19，首先排除。然后把A、B、D三项的百位数字与个位数字对调，A项961比169大700多，D项637比736要小，只有B项正确。
    ★（2014·广东·42）一名顾客购买两件均低于100元的商品，售货员在收款时错将其中一件商品标价的个位数和十位数弄反了，该顾客因此少付了27元。被弄错价格的这件商品的标价不可能是()元。
    A. 42B. 63C. 85D. 96
    【答案】  A
    【解析】 多位数问题，适合代入排除法。代入A项，42-24=18，可知少付18元，与题意不符。故本题正确答案为A。
    ★★（2013·山东·53）某工厂生产的零件总数是一个三位数，平均每个车间生产了35个。统计员在记录时粗心地将该三位数的百位与十位数字对调了，结果统计的零件总数比实际总数少了270个。问该工厂所生产的零件总数最多可能有多少个？()
    A. 525B. 630C. 855D. 960
    【答案】  B
    【解析】 代入排除法。平均每个车间生产35个，总数可以被7整除，由此排除C、D项。题目问最多有多少个，先代入较大的数字。若总数为630个，则数字对调后为360，630－360＝270（个），恰好满足题意。因此，本题答案为B。
    2.多位数统计
    多位数统计类问题求满足题目条件的多位数的个数，难度较大，基本使用枚举法讨论。
    ★★（2014·河北·42）从2000到6000的自然数中，不含数字5的自然数有多少个？()
    A. 2188个B. 2187个C. 1814个D. 1813个
    【答案】  A
    【解析】 千位为6的数字只有6000一个，因此只需找到2000—5999之间不含数字5的组合，千位上数字有2、3、4三种选择，百位、十位、个位分别有9种选择（0，1，2，3，4，6，7，8，9），因此共有3×9×9×9=2187（个）数，再加上数字6000，共有2188个数字。因此，本题答案为A选项。
    ★★（2014·山西·56）数字3、5至少都出现一次的三位数有多少个？()
    A. 48B. 52C. 54D. 60
    【答案】  B
    【解析】 据题意可将此排列组合分为3类：（1）百位数不是3且不是5：则百位数不能是3、5、0，有7种选择，而十位数和个位数就是3和5，排序放在十位和个位即可，是A22，由此第一类是7×A22=14（种）；（2）百位是3：则5必须处于十位或者个位，有2种选择，剩下的一位从0—10当中去选择即可。共有2×10=20（种），但是有一种重复的情况需剔除：355。因此实际上有20-1=19（种）。（3）百位是5：与百位是3的情况是完全相同的，故也有19种。因此，符合题意的情况共有14+19+19=52（种），故选B。
    ★★（2014·天津·8）小张练习写数码，从1，2，3……连续写至1000多才停止。写完一数，共写了3201个数码。请问，小张写的最后一个数是多少？()
    A. 1032B. 1056C. 1072D. 1077
    【答案】  D
    【解析】 枚举法。一位数：1到9每个数有1个数码，共9个数码；两位数：从10到99，每个数有2个数码，共2×90＝180个数码；三位数100到999，每个数有3个数码，共3×900＝2700个数码。所以从1到999共写了9＋180＋2700＝2889个数码，所以四位数应该共有3201－2889＝312个数码，也就是说共有312÷4＝78个四位数，即从1000到1077，故选D。
    ★★★（2012·贵州·32）一个三位自然数，把它十位上的数字去掉后变成的两位数是原来三位数的17。问这样的三位数有几个？()
    A. 0B. 1C. 2D. 3
    【答案】  B
    【解析】 设三位自然数的百位数为a，十位数为b，个位数为c，根据题意有：100a＋10b＋c＝7(10a＋c)，整理得：30a＋10b＝6c，30a和10b均是5的倍数，则6c也是5的倍数，则c只能为0和5。当c＝0时，不符合题意。当c＝5时，3a＋b＝3，则只有a＝1、b＝0时符合题意。故本题选B。
    ★★★（2014·山西·64）小明和小华计算甲、乙两个不同自然数的积(这两个自然数都比1大)。小明把较大的数字的个位数错看成了一个更大的数字，其计算结果为144，小华却把乘号看成了加号，其计算结果为28。问两个数的差为()。
    A. 16B. 12C. 8D. 4
    【答案】  A
    【解析】 本题适宜使用代入排除法。设两数为X与Y，依次验证选项即可，A选项验证过程如下：若X－Y＝16，又由题有X＋Y＝28，解得：X＝22，Y＝6，那么如果把22的个位数看成4的话，用24×6＝144，故A选项符合题意，为正确选项；将B选项代入，则X－Y＝12，X＋Y＝28，解得：X＝20，Y＝8，那么无法将20错看成18，以得到144的积，故B选项不正确；将C选项代入，则X－Y＝8，X＋Y＝28，解得：X＝18，Y＝10，不管将18看成哪个自然数都无法与10相乘得到144，故C选项不正确；将D选项代入，则X－Y＝4，X＋Y＝28，解得：X＝16，Y＝12，无法将16看成12，以得到144的积，故D选项不正确。所以正确答案为A。
    （三）小数分数类计算
    常见的小数分数计算有：
    （1）基础计算，应熟练掌握分数小数定义和运算法则。
    （2）裂项计算，公式：1n×(n+1)=1n-1n+1。
    （3）数列型计算，要善于寻找数列规律进行技巧计算。
    ★（2012·安徽·57）13419＋861519×0.25＋861519×0.625＋861519×0.125＝()。
    A. 98B. 99C. 100D. 101
    【答案】  C
    【解析】 基础计算，运用运算定律和分数小数的运算法则即可。
    13419＋861519×0.25＋861519×0.625＋861519×0.125＝13419＋861519×(0.25＋0.625＋0.125)＝13419＋861519＝100。故本题应选C。
    ★（2014·浙江·46）2014×1.5-2013÷11320142－2013×2015的值为()。
    A. 151114B. 197213C. 201323D. 201534
    【答案】  A
    【解析】 基础计算，运用运算定律和分数小数的运算法则即可。
    原式=2014×32－2013×3420142－(2014－1)(2014+1)=（2013+1）×32－2013×34=32+2013×34=151114。
    ★★☆（2012·浙江·46）13，413，1439，1241这四个数中，最大的数为最小的数的几倍？()
    A. 76B. 1413C. 4136D. 287234
    【答案】  D
    【解析】 基础计算，但有一定难度。将13，413，1439通分为分母为39的分数，分子分别是13，12，14。将413化为1239，可以看出1241<413。因此最大的数是1439，最小的数是1241，最大数是最小数的287234倍。
    ★（2009·江苏B·72）11×2＋12×3＋…＋1n×（n＋1）＋…＝()。
    A. 0B. 0.5C. 1D. 2
    【答案】  C
    【解析】 裂项计算求和问题，原式＝1－12＋12－13＋13-14＋14-15＋…＋1n-1n+1＋…＝1。
    ★（2011·河北·50）112×13＋113×14＋…＋119×20的值为()。
    A. 110B. 120C. 130D. 140
    【答案】  C
    【解析】 裂项计算求和问题，112×13＋113×14＋…＋119×20＝112－113＋113－114＋…＋119－120＝112-120＝130，故选C。
    ★★（2011·安徽·3）计算：1＋12×1－12×1＋13×1－13×…×1＋1100×1－1100＝()。
    A. 101100B. 101200C. 101300D. 201400
    【答案】  B
    【解析】 规律寻找类，原式可以转化为：32×12×43×23×54×34×…×101100×99100，通过观察可以发现，第n个数字和第（n＋3）个数字的乘积为1(1≤n≤195，且n为奇数)。所以，最后各个项相乘余下12×101100＝101200，正确答案为B。
    ★★（2009·联考上·91）计算28＋38＋716＋1532＋3164＋63128＋127256＋255512＋5111024＝()。
    A. 35131024B. 310231024C. 411024D. 45111024
    【答案】  C
    【解析】 规律寻找类，可发现每一项都接近12。
    原式＝12－14+12－18+12－116+…+12－11024=92－14+18+116+…+11024=92－12－11024=411024。因此，本题答案选择C选项。
    ★★（2013·江苏B·93）有一个分数，分子与分母的和是100，如果分子加23、分母加32，新的分数约分后是23，则原来的分数是()。
    A. 3763B. 3565C. 3367D. 3961
    【答案】  D
    【解析】 本题可采用代入法。四个选项的分子与分母的和都是100，A项分子加23、分母加32后约分为1219，排除。B项分子加23、分母加32后为5897，排除。C项分子加23、分母加32后为5699，排除C。至此可确定答案为D项。对D项进行验证，D项分子加23、分母加32后为6293，约分后是23。
    ★★（2010·联考下·27）已知415＝1A＋1B，A、B为自然数，且A≥B，那么A有几个不同的值？()
    A. 2B. 3C. 4D. 5
    【答案】  B
    【解析】 需要转换不等式，由A≥B，且A、B均为自然数可得：1A≤1B，从而推出：415≤2B，即215≤1B，又由A、B均为自然数推出：1B＜415，综合可得：215≤1B＜415，故154＜B≤152，B为自然数，所以B可为4，5，6，7，代入可得：当B＝4时，A＝60；当B＝5时，A＝15；当B＝6时，A＝10；当B＝7时，A不是自然数。故有3组解，B项为正确答案。
    （四）无理数计算
    ★★（2009·联考下·91）12＋1＋13＋2+14＋3+…+19＋8的值是()。
    A. 2B. 2C. 8D. 3
    【答案】  B
    【解析】 原式＝2-1（2+1）×（2-1）+3-2（3+2）×（3-2）+4-3（4+3）×（4-3）+…+9-8（9+8）×（9-8）=2-1+3-2+4-3+…+9-8=-1+3=2。
    【小杨点睛】 无理数的计算往往要先分母有理化，即通过运算使分母变成有理数。
    （五）代数式计算
    代数式计算最常用的方法：
    （1）寻找特殊解满足题干，代入所求代数式求解。
    （2）整体代换，将代数式当成一个未知量来对待。

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