主编简介
    河南省专升本考试研究中心成立于2011年，有10名成员，其中包括河南省某高校在职教授3名，教育学博士1名，各学科专业的硕士毕业生6名（均为多年从事教育图书的资深编辑）。河南省专升本考试研究中心专门从事“河南专生本考试” 的研究，通过对考情、考纲、考生的深入调查和研究，紧抓“专升本考试”的脉络变化，科学预测，为广大考生备考服务。
 

目录
    第一章  函数、极限与连续1
        考情分析1
        第一节  函数1
            一、函数的概念1
            二、函数的简单性质2
            三、反函数2
            四、基本初等函数3
            本节习题精选3
        第二节  极限6
            一、数列极限的概念6
            二、数列极限的性质7
            三、函数极限的概念7
            四、函数极限的性质8
            五、无穷小量和无穷大量8
            六、求极限的方法9
            本节习题精选12
        第三节  连续14
            一、函数连续的概念14
            二、函数在一点处连续的性质16
            三、闭区间上函数连续的性质16
            四、初等函数的连续16
            本节习题精选16
        本章过关测试20
    第二章  一元函数微分学及其应用29
        考情分析29
        第一节  导数与微分29
            一、导数的概念29
            二、曲线上一点处的切线方程与法线方程30
            三、求导法则与导数的基本公式30
            四、高阶导数的概念32
            五、微分33
            本节习题精选34
        第二节  中值定理及导数的应用38
            一、中值定理38
            二、洛必达法则39
            三、函数的增减性的判断方法40
            四、函数极值40
            五、曲线的凹凸性、拐点41
            六、曲线的水平渐近线与垂直渐近线42
            本节习题精选43
        本章过关测试46
    第三章  一元函数积分学及其应用52
        考情分析52
        第一节  不定积分52
            一、原函数的含义52
            二、不定积分的含义和基本公式52
            三、不定积分的基本方法54
            本节习题精选55
        第二节  定积分59
            一、定积分的概念和几何意义59
            二、定积分的性质59
            三、变限积分60
            四、无穷区间上的广义积分60
            五、定积分的计算（牛顿—莱布尼茨公式，换元积分法与分部积分法）62
            六、定积分的几何应用：面积、旋转体体积63
            本节习题精选65
        本章过关测试68
    第四章  向量代数与空间解析几何72
        考情分析72
        第一节  向量代数72
            一、向量72
            二、向量的线性运算73
            三、空间点的直角坐标74
            四、利用坐标作向量的线性运算75
            五、向量的模、方向角75
            六、两向量的数量积76
            七、两向量的向量积76
            本节习题精选77
        第二节  平面及其方程78
            一、平面的点法式方程78
            二、平面的一般方程79
            三、平面的截距式方程：79
            四、两平面的夹角79
            五、点到平面的距离79
            本节习题精选79
        第三节  空间直线及其方程82
            一、空间直线的一般方程82
            二、空间直线的对称式方程与参数方程83
            三、两直线的夹角83
            四、直线与平面的夹角83
            五、平面束83
            本节习题精选84
        第四节  常见曲面及方程87
            一、曲面方程的概念87
            二、常见曲面的方程87
            本节习题精选90
        本章过关测试93
    第五章  多元函数微分学99
        考情分析99
        第一节  多元函数的基本概念99
            一、二元函数的定义99
            二、多元函数的定义99
            三、二元函数的几何意义99
            四、二元函数的极限100
            五、二元函数连续101
            本节习题精选102
        第二节  多元函数的偏导数与全微分103
            一、偏导数103
            二、全微分105
            本节习题精选107
        第三节  偏导数的几何应用110
            一、空间曲线的切线与法平面110
            二、曲面的切平面与法线111
            本节习题精选112
        第四节  方向导数与梯度115
            一、方向导数的定义115
            二、梯度的概念116
            本节习题精选116
        第五节  多元函数的极值118
            一、多元函数的极值和最值118
            二、条件极值118
            本节习题精选119
        本章过关测试123
    第六章  多元函数积分学131
        考情分析131
        第一节  二重积分的概念及性质131
            一、二重积分的概念131
            二、二重积分的性质132
            本节习题精选133
        第二节  二重积分的计算136
            一、直角坐标系下的二重积分的计算方法136
            二、极坐标系下的二重积分的计算方法138
            本节习题精选140
        第三节  曲线积分143
            一、对弧长的曲线积分143
            二、对坐标的曲线积分144
            三、两类曲线积分的关系145
            本节习题精选145
        第四节  格林公式149
            一、格林公式149
            二、平面上曲线积分与路径无关的条件149
            本节习题精选151
        本章过关测试153
    第七章  无穷级数160
        考情分析160
        第一节  数项级数的概念及性质160
            一、数项级数的概念160
            二、数项级数的性质161
            本节习题精选162
        第二节  数项级数的收敛法164
            一、正项级数的敛散性判别法164
            二、一般项级数敛散性判别法167
            本节习题精选168
        第三节  幂级数171
            一、幂级数及其收敛性171
            二、幂级数的运算173
            三、泰勒级数174
            四、函数展开成幂级数175
            五、函数的幂级数展开式应用——近似计算178
            六、欧拉公式180
            本节习题精选181
        本章过关测试185
    第八章  常微分方程191
        考情分析191
        第一节  常微分方程的基本概念191
            本节习题精选192
        第二节  一阶微分方程193
            一、变量可分离方程193
            二、可化为变量可分离的方程193
            三、一阶线性微分方程194
            本节习题精选195
        第三节  二阶线性微分方程197
            一、二阶齐次线性微分方程197
            二、二阶非齐次线性微分方程199
            本节习题精选200
        本章过关测试204
    第九章  2007—2011年河南省专升本考试高等数学试题208
        2011年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试题208
        2010年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试题213
        2009年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试题218
        2008年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试题223
        2007年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试题228
        参考答案及名师详解232
        2011年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试题232
        2010年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试题236
        2009年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试题240
        2008年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试题245
        2007年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试题250
    附录255
 

文摘

    五、微分
    1.微分的概念
    设函数y=f(x)在点x处有导数f′(x)，自变量x的增量为Δx，则称f′(x)Δx 为函数f(x)在点x处的微分，记作dy=f′（x）Δx或dy=f′(x)dx，这时称f(x)在x处可微.
    当Δx→0时微分dy是Δx的一次函数，且有dy≈Δy，当y′≠0时，dy-Δy是比Δx更高阶的无穷小量.
    由dy＝f′(x)dx可得dydx=f′(x)，即dydx为函数的微分与自变量的微分之商.从而函数f(x)在x处可微与可导是等价的.即dy=f′(x)dxdydx=f′(x).2.微分的求法
    设y=f(x)在x处可微，则dy=f′（x）dx.
    可见，函数的微分就是该函数的导数后面拖上dx“尾巴”.如y=ax，则它的微分dy=d(ax)=axln adx.
    3.一阶微分形式不变性
    设函数y=f(x)在x处可微.
    当x为自变量时，微分dy=f′(x)dx；
    当x不是自变量而是中间变量时，即设x=φ(t)，且φ′(t)=dxdt存在，则y为t的复合函数 .据复合函数的求导法则，有dy=dydt•dt=dydx•dxdt•dt=f′(x)φ′(t)dt，又dx=φ′(t)dt，故 dy=f′(x)dx.
    因此，不论x是自变量或是中间变量，函数y=f(x)的一阶微分形式总是dy=f′(x)dx.
    如求f(x)=sin(3x+2)的微分有两个方法:
    方法①，先求f′(x)=cos(3x+2)•(3x+2)′=3cos(3x+2)，因此dy＝3cos(3x+2)dx.
    方法②，用一阶微分形式不变性，设y=f(u)=sin u,u=φ(x)=3x+2,dy=f′(u)du=cos udu，而du=φ′(x)dx=3dx，故dy=3cos(3x+2)dx.
    4.应用微分作近似计算
    由微分的定义知Δy≈dy  (当|Δx|很小时)，即Δy=f(x0+Δx)-f(x0)≈f′（x0）Δx (当|Δx|很小时)，将其改写，即得到求函数增量的近似公式.
    f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx(当|Δx|很小时)， 根据这个近似公式，已知f(x0)的值，可以求x0附近的函数的近似值.
    若f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx式中令x=x0+Δx，且x0=0，则该式变为f(x)≈f(0)+f′(0)x (当|Δx|很小时)，此为x=0附近函数值的近似公式.
    例如，求31.02的近似值.
    设f(x)= 3x,x0=1,Δx=0.02,f′（x）=（x13）′=13x-23,f′(1)=13.
    31.02=f(1+0.02)≈f(1)+f′(1)•0.02=1+13×0.02≈1.00667.
    记住一些近似公式是有益的：
    ex≈1+x(当|x|很小时)，
    ln(1+x)≈x(当|x|很小时)……
 

本节习题精选

    一、单项选择题
1.设函数f(x)在x=a处可导,则函数|f(x)|在x=a处不可导的充分条件是（）.
    A. f(a)=0且f′(a)=0
    B. f(a)=0且f′(a)≠0
    C. f(a)＞0且f′(a)＞0
    D. f(a)＜0且f′(a)＜0
2.设F(x)=f(x)x,x≠0，
    f(0),x=0，其中f(x)在点x=0处可导，且f′(0)≠0,f(0)=0，则x=0是F(x)的（）.
    A. 连续点B. 可去间断点
    C. 第二类间断点D. 哪类间断点难以确定
3.设函数y=f(x)在点x0处可导, 当自变量x由x0增加到x0+Δx时, 记Δy为f(x)的增量,dy为f(x)的微分,limΔx→0Δy-dyΔx等于（）.
    A. －1B. 0
    C. 1D. 1或-1
4.设f(x)=3x3+x2|x|,则使f(n)(0)存在的最高阶导数n为（）.
    A. 0B. 1
    C. 2D. 3
5.设函数对任意x均满足f(1+x)=af(x),且f′(0)=b, 其中a,b为非零常数,则（）.
    A. f(x)在x=1处不可导
    B. f(x)在x=1处可导,且f′(1)=a
    C. f(x)在x=1处可导,且f′(1)=b
    D. f(x)在x=1处可导,且f′(1)=ab
    二、填空题
6.设 φ(x)=max-1＜x＜1{f1(x),f2(x)}，其中f1(x)=x+1,f2(x)=(x+1)2，则dφdx＝.
7.已知y=f3x-23x+2,f′(x)=arctan x2，则dydxx=0=.
8.设函数y(x)由参数方程x=t3+3t+1，
y=t3-3t+1确定，则曲线y=y(x)凸的x取值范围是.
9.方程x2+y2=R2(R＞0)所确定的隐函数的导数y′=.
10. 已知xy-sin(πy2)=0,则y′|(0,-1)=.
11. 设函数
    f(x)=ex2,x≤1,
    ax+b,x＞1.
    若f(x)为可导函数，应a=，b=.
12. 设f(x)=ax2+b,x≥1，
    xcosπ2x,x＜1，f(x)在x=1可导，则a=,b=.
13. 设y=f(ln x)ef(x)，其中f可微，则dy=.
14. 设y=ln1-x1+x2，则y″|x=0=.
    三、计算题
15. 求由参数方程 x=acos t
    y=bsin t所确定的函数的二阶导数d2ydx2.
16. 设f(x)在点x=0的某个领域内二阶可导，且limx→0sin x+xf(x)x3=12，试求：f(0),f′(0)及f″(0)的值.
 

参考答案及解析

一、单项选择题
1.B［名师详解］ 当f(a)=0,f′(a)≠0时,
    limx→a+|f(x)|-|f(a)|x-a=limx→a+f(x)x-a=limx→a+f(x)-f(a)x-a=|f′(a)|＞0，
    limx→a-|f(x)|-|f(a)|x-a=limx→a-|f(x)|-|x-a|=-limx→a-f(x)-f(a)x-a=-|f′(a)|＜0.
    所以f(x)在x=a点不可导.
    故选B.
2.B［名师详解］ 重点在于求limx→0F(x)=limx→0f(x)x.
    注意到f(x)在点x=0可导，且f′(0)≠0及f(0)=0，故有
    limx→0 F(x)=limx→0 f(x)x-0=limx→0 f(x)-f(0)x=f′(0)≠0=f(0)=F(0),
    所以x=0是F(x)的可去间断点.
    故选B.
3.B［名师详解］ 由微分定义Δy=dy+o(Δx),所以limΔx→0Δy-dyΔx=limx→0o(Δx)Δx=0.
4.C［名师详解］ f(x)=4x3，x≥0；
    2x3，x＜0.f″(x)=24x，x≥0；
    12x，x＜0.
    f(0+)=limx→0+f″(x)-f″(0)x-0=limx→0+24x-0x=24，
    f(0-)=limx→0-f″(x)-f″(0)x-0=limx→0-12x-0x=12，
    f(0+)≠f(0-),所以n=2,故应选C.
5.D［名师详解］ 在f(1+x)=af(x)中代入x=0，得f(1)=af(0).
    f′(1)=limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=limΔx→0af(Δx)-af(0)Δx=af′(0)=ab,所以选D.
    注:因为没有假设f(x)可导, 不能对f(1+x)=af(x)两边求导.
    二、填空题
6.1，-1＜x＜0,
    2（x+1),0＜x＜1.
    ［名师详解］ φ(x)是分段函数，应当先把其写成分段函数表示式，再求导函数.
    当-1＜x≤0时，由于0＜x+1≤1，故x+1≥(x+1)2.
    同理，当0＜x＜1时，(x+1)2＞(x+1).
    故φ(x)=x+1,-1＜x≤0,
    (x+1)2,0＜x＜1.
    当-1＜x＜0时，φ′(x)=(x+1)′=1;当0＜x＜1时,φ′(x)=［(x+1)2］′=2(x+1).在分段点x=0处：
    φ′-(0)=limx→0-x+1-1x=1,
    φ′+(0)=limx→0+(x+1)2-1x=2≠1=φ′-(0),
    故函数φ(x)在x=0处不可导.
    综上所述dφdx=1,-1＜x＜0,
    2(x+1),0＜x＜1.
7.3π4
    ［名师详解］ 令u=3x-23x+2，则y=f［u(x)］，由链式法则可得
    dydx=dydu•dudx=arctan u2•12(3x+2)2，dydxx=0=12(0+2)2•arctan 1=3π4.
8.（-∞，1）或（-∞，1］
    ［名师详解］ dydx=dydtdxdt=3t2-33t2+3=t2-1t2+1，d2ydx2=ddxdydx=ddtt2-1t2+1dxdt=4t(t2+1)23(t2+1)=4t3(t2+1)3.
    令d2ydx2＝0，得t=0，从而x=1.且x＜1时，y″＜0.
    故y=y(x)凸的x的取值范围为（-∞，1）或（-∞，1］.
9.-xy(y≠0)
    ［名师详解］ 当我们对方程x2+y2=R2的两端同时对x求导时，则应有(y=y(x)是中间变量)2x+2y•y′=0,解出y′=-xy(y≠0).
10. -12π
    ［名师详解］ 方程两边对x求导，得
    (xy)′x-［sin(πy2)］′x=0，即y+xy′-cos(πy2)•2πyy′=0.
    y′=-yx-2πycos(πy2),y′|(0,-1)=12π•cos π=-12π.
11. 2e-e
    ［名师详解］ 当x＞1及x＜1时，f(x)显然是可导的，故要f(x)为可导函数，只需使其在点x=1处可导即可.为此，首先应选择a,b,使其在点x=1处连续.
    因f(1)=e,f(1-)=e,f(1+)=a+b，故当a+b=e即当b=e-a时,f(x)在x=1连续.
    又f′-(1)=limx→1-f(x)-f(1)x-1=limx→1-ex2-ex-1=limx→1-2xex21=2e,
    f′+(1)=limx→1+f(x)-f(1)x-1=limx→1+ax+b-ex-1=limx→1+ax+(e-a)-ex-1=a,
    因此，当a=2e,b=-e时，f′(1)存在，从而f(x)为可导函数.
12. -π4π4
    ［名师详解］ 要使f(x)在x=1可导，则f(x)必须在x=1连续，
    即limx→1-f(x)=limx→1+f(x)=f(1),
    也即a+b=0,从而b=-a.
    f(x)在x=1可导，则必有f′-(1)=f′+(1),
    f′-(1)=limx→1-xcosπ2x-(a+b)x-1=-limx→1-xsin［π2(x-1)］x-1=-π2,
    f′+(1)=limx→1+ax2+b-(a+b)x-1=limx→1+a(x2-1)x-1=2a,
    故2a=-π2，则a=-π4.
13. ef(x)［1xf′(ln x)+f′(x)f(ln x)］dx
    ［名师详解］ y′=［f(ln x)］′ef(x)+f(ln x)［ef(x)］′=f′(ln x)•1x•ef(x)+f(ln x)ef(x)•f′(x)，
    dy=y′dx=ef(x)1xf′(ln x)+f′(x)f(ln x)dx.
14. -32
    ［名师详解］ y=12［ln(1-x)-ln(1+x2)］，y′=12-11-x-2x1+x2,
    y″=12-1(1-x)2-2(1-x2)(1+x2)2,y″x=0=-32.
三、计算题
15. 解：dydx=dydtdxdt=bcos t-asin t=-bacot t.
    d2ydx2=ddxdydx=ddx-bacot t=ddt-bacot t•dtdx＝bacsc2t•1dxdt,
    bacsc2t1dxdt=bacsc2t1-asin t=-ba2csc3t.
16. 解：sin x=x-x33!+o(x3),f(x)=f(0)+f′(0)x+12!f″(0)x2+o(x2),所以，由limx→0sin x+xf(x)x3=12可知
    limx→01x3x-x33!+o(x3)+f(0)x+f′(0)x2+f″(0)2x3+o(x3)
    =limx→01x3(1+f(0))x+f′(0)x2+f″(0)2-16x3+o(x3)
    =12，
    所以1+f(0)=0,f′(0)=0,f″(0)2-16=12.
    故f(0)=-1,f′(0)=0,f″(0)=43.

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